高中数学 第3章 三角恒等变换 3.3 几个三角恒等式知识导航 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题VIP免费

3.3几个三角恒等式知识梳理一、万能代换公式：sinα=;cosα=;tanα=.二、关于和差化积、积化和差公式的推导1.积化和差公式推导课本仅推了第一个，下面给出公式的全部推导过程：由于sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;①sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;②cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;③cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.④①+②,得sinαcosβ=［sin(α+β)+sin(α-β)］;①-②,得cosαsinβ=［sin(α+β)-sin(α-β)］;④+③,得cosαcosβ=［cos(α+β)+cos(α-β)］;④-③,得sinαsinβ=-［cos(α+β)-cos(α-β)］.2.和差化积公式的推导在积化和差公式中，如果“从右往左”看就是和差化积.令α+β=θ,α-β=φ,则α=,β=,代入第一个积化和差公式，可得sinθ+sinφ=2sincos.同理,可得sinθ-sinφ=2cossin,cosθ+cosφ=2coscos,cosθ-cosφ=-2sinsin.知识导学要学好本节内容，可以以一般的数学(代数)变换思想为指导，加强对三角函数式特点的观察，注意体会三角恒等变换的特殊性.关于和差化积、积化和差,万能代换公式这三组公式要了解它们的推导过程，体会其中用到的换元与方程的思想.课本上虽然不要求记忆，但如果能记住且会用，在解某些题目时将会少绕弯路，起到事半功倍的效果.半角公式虽然不要求记忆，但要熟悉公式的推导和使用，在解题过程中能熟练地进行变形，应用它们可以起到降幂或升幂的重要作用.疑难突破1.代数式变换与三角变换有何异同？剖析：三角恒等变换与代数恒等变换、圆的几何性质等都有紧密联系，推导两角差的余弦公式的过程比较集中地反映了这种联系，从中体现了丰富的数学思想.从数学变换的角度看，三角恒等变换与代数恒等变换既有相同之处又有各自特点.相同之处在于它们都是运用一定的数学工具对相应的数学式子作“只变其形不变其质”的数学运算，对其结构形式进行变换.由于三角函数式的差异不仅表现在其结构形式上，而且还表现在角及其函数类型上，因此三角恒等变换常常需要先考虑式子中各个角之间的关系，然后以这种关系为依据来选择适当的三角公式进行变换，这是三角恒等变换的主要特点.2.如何确定半角的正弦、余弦、正切的无理式前的符号?剖析：(1)若给出角是某一象限角时，可根据下表决定符号：αsincostan第一象限一、三象限+、-+、-+第二象限一、三象限+、-+、-+第三象限二、四象限+、--、+-第四象限二、四象限+、--、+-(2)若给出α的范围时，可先求出的范围，再根据的范围确定符号.(3)若没有给出决定符号的条件时，则要保留正,负两个符号.3.半角公式的推导和使用.tan还可以用sinα、cosα的有理表达式给出吗？半角仅仅是2α与α之间的关系吗？剖析：(1)半角公式虽然不要求记忆，但要熟悉公式的推导和使用，在解题过程中能熟练地进行变形，特别是sin2=与cos2=.应用它们可以起到降幂或升幂的重要作用，在三角函数的化简、求值、证明过程中有着举足轻重的地位.(2)课本中半角公式给出了无理表达式：sin=±,cos=±,tan=±.其中tan还可以用sinα、cosα的有理表达式给出：tan=,推导如下：tan=或tan=,即tan=.这两个公式将tan表示成了sinα、cosα的有理表达式.使用它们在一些计算或化简过程中可避免开方和对根号前符号的判断，非常方便，如计算tan可直接化为-1，但应注意到tan=的适用范围是α≠kπ(k∈Z,而tan=与tan=±的适用范围是α≠(2k+1)π(k∈Z).(3)对于半角要有广义上的理解如：4α=×8α，3α=×6a，=×3α，=×，=×，…又如：=×α，=×，…，=×等.则有sin2=,cos2=,tan2=等.