3.3几个三角恒等式5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.设-3π＜α＜-，化简.解：∵-3π＜α＜-，∴-＜＜-，cos＜0.又由诱导公式得cos（α-π）=-cosα，∴==-cos.2.求证：1+2cos2θ-cos2θ=2.证明：左边=1+2cos2θ-cos2θ=1+2·-cos2θ=2=右边.3.已知tan=2,则sinα的值为__________，cosα的值为_________,tanα的值为_________.思路解析：由万能代换可得sinα==;cosα==-;tanα==-.答案:--10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.若cos(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=且β在第三象限，则cos为()A.-B.±C.-D.±思路解析：由题意知sin(α-β-α)=,即sin(-β)=，∴sinβ=-.∵β是第三象限角，∴cosβ=-，且是二、四象限角.∴cos=±=±=±.答案:B2.设α、β为钝角，且sinα=,cosβ=-，则α+β的值为()A.B.C.D.或思路解析：先求α+β的某种三角函数值.由题意知：cosα=-,sinβ=,∴cos(α+β)=-×(-)-×=.∵<α<π,<β<π,∴π<α+β<2π.∴α+β=.答案:C3.若tan(α+)=3+2，则=_____________.思路解析：先将所求式子变形，再根据条件求解.原式==tanα.由tan(α+)==3+2解得tanα=.答案:4.已知sinα=，且α为第二象限角，则tan的值为_______________.思路解析：可将tan先用含sinα、cosα的形式表示出来再求解.∵α为第二象限角，∴cosα=-1-=-.tan====.答案:5.已知tanα、tanβ是方程7x2-8x+1=0的两根，则tan（α+β）的值为____________.解：由韦达定理得故tan（α+β）==.答案:6.设25sin2x+sinx-24=0，x是第二象限角，求cos的值.解：因为25sin2x+sinx-24=0，所以sinx=或sinx=-1.又因为x是第二象限角，所以sinx=，cosx=-.又是第一或第三象限角，从而cos=±=±=±.7.求函数y=4sinx·cosx的最值和周期.解：∵y=4sinx·cosx=2sin2x，∴ymax=2，ymin=-2，且T=π.8.求函数y=的最值.解：∵y==,∴（1-y）tan2+2tan+（1-3y）=0.又∵tan∈R，∴Δ=22-4（1-y）（1-3y）≥0.∴0≤y≤，ymax=，ymin=0.志鸿教育乐园一天长大爷爷说：“今天是我的生日。”孙子说：“‘生日’是什么意思？”“生日嘛，就是说爷爷是今天出生的。”孙子听了，瞪了眼睛说：“嗬，今天生的怎么就长这么大了呀！”30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.（2005江西）已知tan=3,则cosα等于()A.B.-C.D.-思路解析：由万能代换可知，cosα==-.答案:B2.已知sinθ=-，3π＜θ＜，则tan的值为________________.思路解析：因为sinθ=-，3π＜θ＜，∴cosθ=-，且＜＜.∴tan=-=-3.答案:-33.已知π＜α＜2π，则cos的值等于()A.-B.C.D.-思路解析：∵π＜α＜2π，∴＜＜π，cos＜0,cos=-.故A项正确.答案:A4.求证：2sin（-x）·sin（+x）=cos2x.证明：左边=2sin（-x）·sin（+x）=2sin（-x）·cos（-x）=sin（-2x）=cos2x=右边.5.求证：=.证明：左边======右边.6.在△ABC中，已知cosA=，求证：=.证明：∵cosA=，∴1-cosA=，1+cosA=.∴=.而==tan2，=tan2，∴tan2=·tan2，即=.7.求函数y=2cos2+1的最小正周期、递增区间和最大值.解：∵y=2cos2+1=2·+1=2+cosx，∴函数y=2cos2+1的最小正周期为2π，递增区间为［2kπ-π，2kπ］，k∈Z，最大值为3，最小值为1.8.sinα+sinβ=（cosβ-cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π）,则α-β等于()A.-B.-C.D.思路解析：由已知得2sincos=·2sinsin.∵0＜＜π，-＜＜，∴sin＞0.∴tan=.∴=，α-β=.答案:D9.已知sin（α+β）sin（β-α）=m，则cos2α-cos2β等于()A.-mB.mC.-4mD.4m思路解析：cos2α-cos2β=（1+cos2α）-（1+cos2β）==-sin（α+β）sin（α-β）=sin（α+β）sin（β-α）=m.故B项正确.答案:B10.求证：4cos（60°-θ）cosθcos（60°+θ）=cos3θ.证明：左边=2cosθ［cos120°+cos（-2θ）］=2cosθ（-+cos2θ）=-cosθ+（cos3θ+cosθ）=cos3θ=右边.11.已知sinα+sinβ=，cosα+cosβ=，求tan（α+β）的值.解：=，由和差化积公式得=3，∴tan=3，从而tan（α+β）===-.12.已知f（x）=-+，x∈（0，π）.（1）将f（x）表示成cosx的多项式；（2）求f（x）的最小值.解：（1）f（x）===2coscos=cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1.（2）∵f（x）=2（cosx+）2-，且-1≤cosx≤1，∴当cosx=-时，f（x）取得最小值-.
