3.2二倍角的三角函数一览众山小诱学导入材料：为了美化环境，某房地产公司打算在所管辖的一个居民小区内的一块半圆形空地上划出一个内接矩形辟为绿地，且使矩形的一边落在半圆的直径上，而另外两个顶点在半圆的圆周上，已知半圆的半径为30米.为了使绿地的面积最大，该公司请了本公司的一位设计师，设计出了这个半圆内接矩形的长与宽的关系.该设计师的计算过程如下：如图3-2-1，设CD=x，则OD=，矩形的面积设为S，则图3-2-1S=2x·=.所以当x2=450，即x=时，S有最大值，即此时矩形的面积最大.问题:现在我们已经学习了三角函数的有关知识，利用三角函数的知识该如何解决这一问题？导入：若用三角函数的有关知识解决这一问题，可设∠COD=α，则CD=30sinα，OD=30cosα，矩形的面积为S=2CD·OD=900×2sinαcosα=900sin2α，根据正弦函数值域即可求出长、宽各为多少时矩形的面积最大.温故知新1.两角和与差的三角公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.tan(α+β)=；tan(α-β)=.2.应用两角和与差的正切公式应注意什么？答:由于正切函数的定义域不是全体实数，所以在应用两角和与差的正切公式时要特别注意：必须在定义域范围内使用上述公式.即：tanα，tanβ，tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能(也只需)用诱导公式来解.此外还要注意公式的结构，尤其是符号.3.两角和与差的三角公式间有何联系？答:两角和与差的三角公式是以两角差公式为基础，利用代换、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识推得的，具体步骤如下：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.利用两角和的正弦与余弦公式两式相除可得两角和的正切公式tan(α+β)=,tan(α+β)=tan(α-β)=.
