高中数学第3章三角恒等变换3.1.3两角和与差的正切课堂导学苏教版必修4三点剖析1.两角和与差的正切公式应用初步【例1】计算下列各式的值.（1）tan15°+tan75°;(2).解析：观察各式的特点，设法化为特殊角的和、差正切公式计算.解：（1）tan15°+tan75°=tan(45°-30°)+tan(45°+30°)====4.(2)原式=tan(41°+19°)=tan60°=.温馨提示要灵活运用和、差角正切公式进行化简求值.当一个角能表示成两个特殊角的和或差时，可用公式求值；若式子能转化成公式右边的形式，便可逆用公式求值.2.两角和与差的正切公式的综合应用【例2】已知：A、B∈(0,),且A+B=.求证：（1+tanA）(1+tanB)=2.思路分析1：从局部入手，tanB=tan(-A)=.思路分析2：从整体入手，（1+tanA）(1+tanB)=1+tanA+tanB+tanAtanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)+(1+tanAtanB)〔此式由tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)代换得到〕.证法1：∵A+B=,∴tanB=tan(-A)=.左边=（1+tanA）(1+)=(1+tanA)·=2=右边.故原式成立.证法2：由tan(A+B)=得，tan(A+B)(1-tanA·tanB)=tanA+tanB.∴原式左边=1+tanA+tanB+tanAtanB=tan(A+B)(1-tanA·tanB)+(1+tanA·tanB).又∵A+B=,∴tan(A+B)=1.∴原式左边=1-tanAtanB+1+tanAtanB=2=右边.故原式成立.温馨提示tanα±tanβ=tan（α±β）（1tanαtanβ）这一公式变形在解题中经常用到，只要题目中有tanα+tanβ或tanα-tanβ，一般用正切公式的变形，整体代入都能奏效.3.角的变换与角的范围的确定【例3】已知α、β、γ都是锐角，且tanα=，tanβ=，tanγ=，求α+β+γ的值.解：因为tan（α+β）==tan[（α+β）+γ]===1.由已知γ＜β＜α，又因0＜＜，所以0＜γ＜β＜α＜，得0＜α+β+γ＜.故α+β+γ=.温馨提示本类问题通常会因为角的范围太大，导致产生不合题意的角，遇到本类问题，要根据已知条件尽可能精确地确定角的范围.各个击破类题演练1计算下列各式的值.（1）;(2).解：（1）原式==tan(45°-15°)=tan30°=.(2)原式=tan(-)=tan=1.变式提升1求出下列各式的值，完成填空.（1）=________________；（2）=______________.思路分析：（1）原式=tan（75°-15°）=tan60°=.（2）原式==tan45°=1.答案：（1）（2）1类题演练2求tan50°-tan20°-tan50°·tan20°的值.解析：本题主要考查给角求值，观察式子的结构特点知，tan50°-tan20°是两角差正切公式中的分子〔tan（50°-20°）=〕，于是抓住这一点作为突破口，用公式的变形，容易解决.解：∵tan50°-tan20°=tan30°（1+tan50°·tan20°），∴tan50°-tan20°-tan50°·tan20°=tan30°（1+tan50°·tan20°）-tan50°·tan20°=tan30°+tan30°·tan50°tan20°-tan50°·tan20°=tan30°=.变式提升2求tan(-θ)+tan(+θ)+3tan(-θ)·tan(+θ)的值.解析：∵tan［(-θ)+(+θ)］=tan=3,∴=tan(-θ)+tan(+θ)=[1-tan(-θ)·tan（+θ)］.∴原式=［1-tan(-θ)·tan(+θ)］+3tan(-θ)·tan(+θ)=.类题演练3若tanα=,tanβ=,且α、β都是锐角，求α+β的值.解析：∵tan(α+β)==1,又根据已知0＜α＜,0＜β＜,得0＜α+β＜π,∴α+β=.变式提升3已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求tan2α,tan2β,tan(2α+).思路分析：先利用α+β、α-β构造出2α、2β，即2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),再用公式解题.解：tan2α=tan［（α+β）+（α-β）］==.tan2β=tan［(α+β)-(α-β)］==.tan(2α+)=.
