高中数学第3章三角恒等变换3.1.1两角和与差的余弦课后导练苏教版必修4基础达标1.下列等式一定成立的是（）A.cos（α-β）=cosα-cosβB.cos(α-β)=cosα+cosβC.cos(-α)=cosαD.cos(-α)=sinα解析：本题是对差角的余弦公式的考查.直接运用公式可知D正确.答案：D2.cos24°cos54°+sin24°sin54°的值是()A.0B.C.D.解析：这是差角余弦公式的逆用，cos24°cos54°+sin24°·sin54°=cos(24°-54°)=cos(-30°)=cos30°=.故选择C.答案：C3.cosα+sinα化简的结果可以是()A.cos（-α）B.2cos(-α)C.cos(-α)D.2cos(-α)解析：cosα+3sinα=2(cosα+sinα)=2(coscosα+sinsinα)=2cos(-α),故答案选B.答案：B4.cos75°-cos15°的值等于()A.B.C.D.解析：cos75°-cos15°=cos（45°+30°）-cos（45°-30°）=cos45°cos30°-sin45°sin30°-cos45°cos30°-sin45°sin30°=-2sin45°sin30°=-,故选择C.答案：C5.设α∈（0，），若sinα=，则cos（α+）等于（）A.B.C.D.-解析：sinα=，且α∈（0，），∴cosα=.∴cos（α+）=×（cosαcos-sinαsin）=（×-×）=.答案：B6.cos345°=__________________.解析：cos345°=cos(-15°+360°)=cos(-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=.答案：7.若cos15°=xcos105°,则x=___________.解析：∵cos15°=xcos105°∴x===.答案：8.若cosα=,α∈(,2π),则cos(α+)=___________.解析：∵cosα=,α∈(π,2π),∴sinα==.∴cos(α+)=cosαcos-sinαsin==答案：9.化简cos（α+β）cosα+sin(α+β)sinα+cos(α-β)·cosα+sin(α-β)sinα.解析：原式=cos［（α+β）-α］+cos［(α-β)-α］=cosβ+cos(-β)=2cosβ.答案：2cosβ10.在△ABC中，已知sinA=，A为钝角，cosB=,求cos(A+B)的值.解析：∵sinA=,A为钝角,∴cosA=-.又∵在△ABC中，A为钝角，∴B一定为锐角且cosB=，∴sinB=.∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=-×-×=.答案：综合运用11.若sinαsinβ=1,则cos(α+β)的值为()A.0B.1C.-1D.±1解析：sinαsinβ=1可知，sinα=sinβ=1或sinα=sinβ=-1.当sinα=sinβ=1时，cosα=cosβ=0,cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-1.当sinα=sinβ=-1时，cosα=cosβ=0,cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-1.故选择C.答案：C12.若A、B、C是△ABC的三个内角，且sinA=,cosB=，那么cosC的值是()A.B.C.或D.不确定解析：由条件可得sinB=，cosA=±.∵sinA=＜=sinB,且A+B＜180°,∴A＜B即A为锐角，∴cosA=.∴cosC=cos［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)=.故选择A.答案：A13.函数y=4sin(3x+)+3cos(3x+)的最小正周期是()A.6πB.2πC.D.解析：y=4sin(3x+)+3cos(3x+)=5［sin（3x+）+cos(3x+)］.令sinφ=,cosφ=,∴y=5［sinφsin(3x+)+cosφcos(3x+)］=5cos(3x+-φ).∴其最小正周期为,故选择C.答案：C14.已知sin（-α）=,＜α＜,则cosα=__________________.解析：∵sin(-α)=,∴sin(α-)=.又∵＜α＜,∴0＜α-＜,∴cos(α-)＞0.∴cos(α-)=.cosα=cos［（α-）+］=cos(α-)·cos-sin(α-)·sin=××=.答案：15.已知cos(α-β)=-,α-β∈(,π),cos(α+β)=,α+β∈(π,2π),求cos2β.解析：∵cos(α-β)=-,α-β∈(,π),∴sin(α-β)=,又∵cos（α+β）=,α+β∈(π,2π),∴sin(α+β)=-.∵2β=(α+β)-(α-β),∴cos2β=cos［（α+β）-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=×(-)+(-)×=-1.答案：-1拓展探究16.已知cos（+α）=，sin（-β）=，且0＜α＜＜β＜π,求cos（β-α）的值.思路分析：观察到sin（-β）=sin（+β）=，β-α=（+β）-（+α）解：∵0＜α＜＜β＜π，∴＜+α＜＜+β＜.∵cos（+α）=＜0，∴＜+α＜，∴sin（+α）=.∵sin（-β）=sin[π-（+β）]=sin（+β）=＞0，∴＜+β＜π.∴cos（+β）=∴cos（β-α）=cos[（+β）-（+α）]=cos（+β）cos（+α）+sin（+β）·sin（+α）=-×（）+×（）=.
