第2章柯西不等式与排序不等式及其应用2.3平均值不等式(选学)学业分层测评新人教B版选修4-5(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，则＋＋与9的大小关系是()A.＋＋≥9B.＋＋<9C.＋＋＝9D.不确定【解析】 a＋b＋c＝1，∴1≥3，∴abc≤，又a，b，c为正数，∴≥27，∴＋＋≥3≥3＝9.【答案】A2.已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为()A.3B.2C.12D.12【解析】 2x＞0,4y＞0,8z＞0，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3＝3＝3×4＝12.当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2y＝3z，即x＝2，y＝1，z＝时取等号.【答案】C3.若2a>b>0，则a＋的最小值是()A.3B.1C.8D.12【解析】a＋＝＋＋≥3＝3.当且仅当a－＝＝，即a＝b＝2时等号成立.【答案】A4.已知x为正数，有不等式：x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋≥n＋1(n为正数)，则a的值为()A.nnB.2nC.n2D.2n＋1【解析】x＋＝+，要使和式的积为定值，则必须nn＝a，故选A.【答案】A5.已知a，b，c为正数，x＝，y＝，z＝，则()【导学号：38000043】A.x≤y≤zB.y≤x≤zC.y≤z≤xD.z≤y≤x【解析】 a，b，c为正数，∴≥，∴x≥y，又x2＝，z2＝. a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，∴3a2＋3b2＋3c2≥(a＋b＋c)2，∴z2≥x2，∴z≥x，即y≤x≤z.【答案】B二、填空题6.设a>0，b>0，称为a，b的调和平均.如图231，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均，线段________的长度是a，b的几何平均，线段________的长度是a，b的调和平均.图231【解析】在Rt△ABD中，由射影定理易得到DC2＝ab，DC＝，故线段DC的长度为a，b的几何平均数.又因为△ODC∽△CDE，所以＝，则DE＝＝，故线段DE的长度为a，b的调和平均数.【答案】DCDE7.当a＞1,0＜b＜1时，则logab＋logba的范围是________.【解析】 a＞1,0＜b＜1，∴logab＜0，logba＜0，∴－logab＞0，－logba＞0，∴－logab－logba≥2＝2.当且仅当b＝时取等号，∴logab＋logba≤－2.【答案】(－∞，－2]8.设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是________.【解析】设P到三角形三边距离分别为h1，h2，h3.又 三角形为直角三角形，S＝·3·4＝6，∴h1·3＋h2·4＋h3·5＝6，∴3h1＋4h2＋5h3＝12≥3，∴h1h2h3≤＝.【答案】三、解答题9.证明不等式＋＋…＋<对一切正整数成立.【证明】 <，∴＋＋…＋<＋＋…＋，即＋＋…＋<.10.(1)已知a，b是正数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，求证：＋≥，并指出等号成立的条件.(2)利用(1)的结论求函数f(x)＝＋x∈0，的最小值，指出取最小值时的x的值.【解】(1)证明：由二元均值不等式得(x＋y)＝a2＋b2＋a2·＋b2·≥a2＋b2＋2＝(a＋b)2，故＋≥.当且仅当a2＝b2，即＝时上式取等号.(2)由(1)知，f(x)＝＋≥＝25.当且仅当＝，即x＝时，f(x)取最小值，且f(x)min＝25.[能力提升]1.某城市为控制用水，计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是(已知0＜q＜p＜1)()A.先提价p%，再提价q%B.先提价q%，再提价p%C.分两次都提价%D.分两次都提价%【解析】≥≥ab，由题可知，A，B两次提价均为(1＋p%)(1＋q%)相等，C提价，D提价，＜⇒(1＋p%)(1＋q%)＜＜，则提价最多为C.【答案】C2.若x＞1，则函数y＝x＋＋的最小值为()A.16B.8C.4D.非上述情况【解析】y＝x＋＋＝x＋＋≥2＝8，当且仅当＝16，x＋＝4，x＝2＋时取“＝”.【答案】B3.若x，y，z是正数，且满足xyz(x＋y＋z)＝1，则(x＋y)·(y＋z)的最小值为________.【导学号：38000044】【解析】(x＋y)(y＋z)＝xy＋y2＋yz＋zx＝y(x＋y＋z)＋zx≥2＝2.【答案】24.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.(1)把全程运输成本y元表示为速度v千米/时的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽...
