2.2.3圆与圆的位置关系[学业水平训练]1．两圆相交于点A(1,3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线l：x－y＋c＝0上，则m＋c＝________.解析：由题意可知，AB⊥l，由于k1＝1，故kAB＝－1，即＝－1，解得m＝5.又AB的中点在直线l上，故3－1＋c＝0，解得c＝－2.所以m＋c＝5－2＝3.答案：32．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长为________．解析：由题意圆C1和圆C2公共弦所在的直线l为x＋y－1＝0.圆C3的圆心为(1,1)，其到l的距离d＝.由条件知，r2－d2＝－＝，∴弦长为2×＝.答案：3．点P在圆O:x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则PQ的最小值为________．解析：如图．设连心线OC与圆O交于点P′，与圆C交于点Q′，当点P在P′处，点Q在Q′处时PQ最小，最小值为P′Q′＝OC－r1－r2＝1.答案：14．若a2＋b2＝4，则两圆(x－a)2＋y2＝1与x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．解析： 两圆的圆心分别为O1(a,0)，O2(0，b)，半径r1＝r2＝1，∴O1O2＝＝2＝r1＋r2，两圆外切．答案：外切5．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离C1C2＝________.解析：依题意，可设与两坐标轴相切的圆的圆心坐标为(a，a)，半径长为r，其中r＝a＞0，因此圆的方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，所以C1C2＝×＝8.答案：86．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．解析：曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝5.如图所示，所求的最小圆的圆心在直线y＝x上，其到直线的距离d＝＝，即为其半径，圆心坐标为(2,2)．所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.答案：(x－2)2＋(y－2)2＝27．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系．解：法一：圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组①－②得x＋2y－1＝0，即y＝.③把③代入①，并整理，得x2－2x－3＝0,④其判别式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0，所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2，把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2，因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)．所以两圆相交．法二：把圆C1的方程化成标准方程，得(x＋1)2＋(y＋4)2＝25.圆C1的圆心是点(－1，－4)，半径长r1＝5.把圆C2的方程化成标准方程，得(x－2)2＋(y－2)2＝10，圆C2的圆心是点(2,2)，半径长r2＝.圆C1与圆C2的连心线的长为＝3，圆C1与圆C2的两半径长之和是r1＋r2＝5＋，两半径长之差r1－r2＝5－.而5－<3<5＋，即r1－r2<3
