2.2.2直线与圆的位置关系[学业水平训练]1．经过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程为________．解析：设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，即kx－y－k－7＝0.∴＝5.解得k＝或k＝－.∴所求切线方程为y＋7＝(x－1)或y＋7＝－(x－1)．即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.答案：4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝02．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为2，则此圆的方程为________．解析：圆心到直线的距离d＝＝，由于弦心距d、半径r及弦长的一半构成直角三角形，所以r2＝d2＋()2＝4，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝4.答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝43．若直线ax＋by＋1＝0与圆C：x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆C的位置关系是________．解析：由题意<1，∴a2＋b2>1，点P(a，b)到圆心的距离为＝>1＝r，∴点P在圆C外．答案：点P在圆C外4．过直线x＋y－2＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．解析：设P(x，y)，则由已知可得OP(O为原点)与切线的夹角为30°，则OP＝2，由，可得.故点P的坐标是(，)．答案：(，)5．圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝8上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点的个数为________．解析：圆心(－1，－2)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，又圆半径r＝2，所以满足条件的点共有3个．答案：36．过点A(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k等于________．解析：由(1－2)2＋()2＝3<4可知，点A(1，)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，圆心为O(2,0)，要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥OA，所以kl＝－＝－＝.答案：7．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切？(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方后得到标准方程x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有＝2.解得a＝－.即当a＝－时，直线l与圆C相切．(2)法一：过圆心C作CD⊥AB于点D，则根据题意和圆的性质，得解得a＝－7或a＝－1.即直线l的方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.法二：联立方程组并消去y，得(a2＋1)x2＋4(a2＋2a)x＋4(a2＋4a＋3)＝0.设此方程的两根分别为x1，x2，由AB＝2＝，可求出a＝－7或a＝－1.即直线l的方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.8．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解：设这样的直线存在，其方程为y＝x＋m，它与圆C的交点设为A(x1，y1)、B(x2，y2)．则由得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0(*)∴∴y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2. 以弦AB为直径的圆过原点，∴∠AOB＝90°，即OA⊥OB.由OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0.∴2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0.m2＋4m－4－m(m＋1)＋m2＝0.m2＋3m－4＝0.∴m＝1或m＝－4.容易验证：m＝1或m＝－4时(*)有实根．故存在这样的直线，有两条，其方程为y＝x＋1或y＝x－4.[高考水平训练]1．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上．直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．解析：设圆心坐标为(x0,0)(x0>0)，由于圆过点(1,0)，则半径r＝|x0－1|.圆心到直线l的距离为d＝.由弦长为2可知()2＝(x0－1)2－2，整理得(x0－1)2＝4.∴x0－1＝±2，∴x0＝3或x0＝－1(舍去)．因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y＝x－1垂直的直线方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝02．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．解析：由题设，得若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d＜1. d＝＝，∴0≤|c|＜13，即c∈(－13,13)．答案：(－13,13)3．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．解：(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)与x轴的交点为(3...
