2.1.3两条直线的平行与垂直[学业水平训练]1．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________.解析：l1⊥l2时，k1k2＝－1，由一元二次方程根与系数的关系得k1k2＝－，∴－＝－1，得b＝2.l1∥l2时，k1＝k2，即关于k的二次方程2k2－3k－b＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－3)2－4×2·(－b)＝0，即b＝－.答案：2－2．设a∈R，如果直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行，那么a＝________.解析：当a＝0时，l1：y＝，l2：x＋y＋4＝0，这两条直线不平行；当a＝－1时，l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋4＝0，这两条直线不平行；当a≠0且a≠－1时，l1：y＝－x＋，l2：y＝－x－，由l1∥l2得－＝－且≠－，解得a＝－2或a＝1.答案：－2或13.如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1,1)，B(1,5)，C(－3,2)，则△ABC的形状为________．解析：因为kAB＝＝＝2，kAC＝＝－，所以kAB·kAC＝－1，且A、B、C、D4点不共点，所以AB⊥AC，即∠BAC＝90°.所以△ABC是直角三角形．答案：直角三角形4．已知A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD，其中正确的序号为________．解析：kAB＝＝－，kCD＝＝－，且A、B、C、D4点不共线，所以AB∥CD，kAC＝＝，kBD＝＝－4，kBD·kAC＝－1，所以AC⊥BD.答案：①④5．已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，则m＝________.解析：当m＝－2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；当m≠－2且m≠－1时，kPQ＝＝，kMN＝＝，因为直线PQ∥直线MN，所以kPQ＝kMN，即＝，解得m＝0或m＝1.经检验m＝0或m＝1时直线MN，PQ都不重合．综上，m的值为0或1.答案：0或16．已知两条直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋c＝0互相垂直，垂足为(1，b)，则a＋c－b＝________.解析： k1k2＝－1，∴a＝10. 垂足(1，b)在直线10x＋4y－2＝0上，∴b＝－2.将(1，－2)代入2x－5y＋c＝0得c＝－12，故a＋c－b＝0.答案：07．(1)求与直线y＝－2x＋10平行，且在x轴、y轴上的截距之和为12的直线的方程；(2)求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线的方程．解：(1)设所求直线的方程为y＝－2x＋λ，则它在y轴上的截距为λ，在x轴上的截距为λ，则有λ＋λ＝12，∴λ＝8.故所求直线的方程为y＝－2x＋8，即2x＋y－8＝0.(2)法一：由直线方程2x＋3y＋5＝0得直线的斜率是－， 所求直线与已知直线平行，∴所求直线的斜率也是－.根据点斜式，得所求直线的方程是y＋4＝－(x－1)，即2x＋3y＋10＝0.法二：设所求直线的方程为2x＋3y＋b＝0， 直线过点A(1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋b＝0，解得b＝10.故所求直线的方程是2x＋3y＋10＝0.8．已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．(1)求点D的坐标；(2)试判断▱ABCD是否为菱形？解：(1)设D(a，b)，由▱ABCD，得kAB＝kCD，kAD＝kBC，即解得∴D(－1,6)．(2) kAC＝＝1，kBD＝＝－1，∴kAC·kBD＝－1，∴AC⊥BD.∴▱ABCD为菱形．[高考水平训练]1．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，若存在点D，使CD⊥AB，且BC∥AD，则点D的坐标为________．解析：设点D的坐标为(x，y)．因为kAB＝＝3，kCD＝，且CD⊥AB，所以kAB·kCD＝－1，即3×＝－1.①因为kBC＝＝－2，kAD＝，且BC∥AD，所以kBC＝kAD，即－2＝，②由①②得x＝0，y＝1，所以点D的坐标为(0,1)．答案：(0,1)2．△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，则m的值为________．解析：若∠A为直角，则AC⊥AB，所以kAC·kAB＝－1，即·＝－1，得m＝－7；若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，即·＝－1，得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，即·＝－1，得m＝±2.综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.答案：－7或±2或33．已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．解：因为A，B两点纵坐标不等，所以AB与x轴不平行．因为AB⊥CD，所以CD与x轴不垂直，故m≠－3.当AB与x轴垂直...
