第2章平面向量章末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知向量AB＝(3，7)，BC＝(－2，3)，则－AC＝________.答案解析－AC＝－(AB＋BC)＝－[(3，7)＋(－2，3)]＝.2．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，x)，若a＋b与a－b平行，则实数x＝________.答案2解析a＋b＝(3，1＋x)，a－b＝(－1，1－x)，根据题意有3(1－x)＝－(1＋x)，解得x＝2.3．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为________．答案解析由已知，得AB＝(3，－4)，所以|AB|＝5，因此与AB同方向的单位向量是AB＝.4．已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则的值为________．答案－解析设a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ＝－6⇒cosθ＝－1，∴θ＝π，即a，b共线且反向，∴a＝－b，∴x1＝－x2，y1＝－y2，∴＝－.5．向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝________.答案1解析 2a＋b＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)，∴(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.6．已知向量|a|＝1，|b|＝2，a·b＝，则|a＋b|＝________.答案解析|a＋b|＝＝＝＝.7．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为________．答案解析设a与b的夹角为θ。 a·(b－a)＝a·b－a2＝2，|a|＝1，∴a·b＝2＋a2＝3， |b|＝6，∴cosθ＝＝＝， 0≤θ≤π，∴θ＝，∴向量a与b的夹角为.8．已知向量a＝，b＝，若a∥b，则锐角α为________．答案30°解析 a∥b，∴sin2α＝×＝，∴sinα＝±.又 α为锐角，∴α＝30°.9．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为________．答案解析由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0. |a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a||b|cosθ－2|b|2＝0，∴|b|2－|b|2cosθ－2|b|2＝0，∴cosθ＝.又 0≤θ≤π，∴θ＝.10．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.答案解析 λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)＝ta＋2tb，∴∴11．如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为________．答案(5，4)解析F1＝(2，3)，F2＝(3，1)，所以合力F＝F1＋F2＝(2，3)＋(3，1)＝(5，4)，所以合力的大小为＝(N)．12．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA＋PB)·PC的最小值是________．答案－解析因为点O是A，B的中点，所以PA＋PB＝2PO，设|PC|＝x，则|PO|＝1－x(0≤x≤1)，所以(PA＋PB)·PC＝2PO·PC＝－2x(1－x)＝22－.所以当x＝时，(PA＋PB)·PC取到最小值－.13．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为________．答案1解析由已知可设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)．由|c|＝1，(a－c)·(b－c)≤0得⇒x＋y≥1.所以|a＋b－c|＝＝≤1.14．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥BC；⑤(4a＋b)⊥BC.答案①④⑤解析 AB2＝4|a|2＝4，∴|a|＝1，故①正确； BC＝AC－AB＝(2a＋b)－2a＝b，又△ABC为等边三角形，∴|BC|＝|b|＝2，故②错误； b＝AC－AB，∴a·b＝AB·(AC－AB)＝×2×2×cos60°－×2×2＝－1≠0，故③错误； BC＝b，故④正确； (AB＋AC)·(AC－AB)＝AC2－AB2＝4－4＝0，∴(4a＋b)⊥BC，故⑤正确．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．解 A，B，D三点共线，∴AB＝λBD，即AB＝λ(CD－CB)，2e1＋ke2＝λ(2e1－e2－e1－3e2)＝λ(e1－4e2)，∴∴k＝－8.16．(14分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)．(1)若|b|＝2，且a∥b，求b的坐标；(2)若|c|＝，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ.解(1)设b＝(x，y)，因为a∥b，所以y＝2x.①又因为|b|＝2，所以x2＋y2＝20.②由①②联立，解得b＝(2，4)或b＝...
