【金版学案】2015-2016学年高中数学第2章平面向量本章知识整合苏教版必修4网络构建平面向量的线性运算e1，e2是不共线的向量，已知向量AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，求k的值．分析：因为A、B、D三点共线，所以存在λ∈R，使AB＝λBD，可由已知条件表示出BD，由向量相等得到关于λ、k的方程组，求得k值．解析：BD＝CD－CB＝e1－4e2. A、B、D三点共线，故存在λ∈R，使AB＝λBD.∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)．解得k＝－8.◎规律总结：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题，利用向量的相等及向量共线的充要条件是将向量问题实数化的根据，是解决问题的关键．1．设两个非零向量e1和e2不共线，如果AB＝e1＋e2，BC＝2(e1＋4e2)，CD＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．分析：要证明A，B，D三点共线，只需证AB∥AD.1证明： AD＝AB＋BC＋CD＝(e1＋e2)＋2(e1＋4e2)＋3(e1－e2)＝6(e1＋e2)＝6AB，∴AB，AD为共线向量．又AB，AD有公共点A，故A，B，D三点共线．2．如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线所围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP＝xOA＋yOB，则x的取值范围是________________，当x＝－时，y的取值范围是________．解析： OP＝xOA＋yOB，据平面向量基本定理，取OA的相反向量OA′， y可以变化，∴x可以取任意负实数，故x∈(－∞，0)．当x＝－时，OA′＝－OA.过点A′作OB的平行线交OM于点M，过M作OA′的平行线交OB于点E，则OE＝OB.同理，过A′作OB的平行线交AB的延长线于点F.再过F作OA的平行线交OB的延长线于点H，则OH＝OB，因不包括边界，故y∈.答案：(－∞，0)向量的坐标运算已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OP＝OA＋tAB.(1)当t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．分析：(1)将OP的坐标用t表示出来，然后讨论OP的横、纵坐标．(2)若能成为平行四边形，则有OA＝PB，解出t的值；若t无解，则不能构成平行四边形．解析：(1) OA＝(1，2)，AB＝(3，3)，∴OP＝OA＋tAB＝(1＋3t，2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，t＝－；若点P在y轴上，则1＋3t＝0，t＝－；若点P在第二象限，则解得－＜t＜－.(2) OA＝(1，2)，PB＝PO＋OB＝(3－3t，3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，则OA＝PB.又无解，故四边形OABP不能成为平行四边形．◎规律总结：向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，引入向量的坐标表示，向量的运算完全化为代数运算，达到了数与形的统一，通过向量的坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模，判断共线、平行等问题．3．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM＝3CA，CN＝2CB，求向量MN的坐标．分析：要求MN的坐标只要求出M、N点的坐标即可．为此须设出M、N的坐标，然后用已知条件求出．2解析：设M点坐标为(x，y)，依题意有CA＝(1，8)，CB＝(6，3)，CM＝(x＋3，y＋4)． CM＝3CA，∴(x＋3，y＋4)＝3(1，8)．解得x＝0，y＝20，即M的坐标为(0，20)，同理可得N的坐标为(9，2)，∴MN＝(9，－18)．4．在△ABC中，AB＝AC，D为AB的中点，E为△ACD的重心，F为△ABC的外心，证明EF⊥CD.证明：建立如图所示的平面直角坐标系．设A(0，b)，B(－a，0)，C(a，0)，则D，CD＝，易知△ABC的外心F在y轴上．可设F(0，y)，由|AF|＝|CF|，可得(y－b)2＝a2＋y2，所以y＝，即F.又由重心坐标公式得E，则EF＝，所以CD·EF＝×＋×＝0.所以CD⊥EF，即EF⊥CD.平面向量的数量积设0＜|a|≤2，且函数f(x)＝cos2x－|a|sinx－|b|的最大值为0，最小值为－4，且a与b的夹角为45°，求|a＋b|.分析：要求|a＋b|需知道|a|、|b|，故可利用函数的最值确立|a|、|b|的值．解析：f(x)＝1－sin2x－|a|sinx－|b|＝－＋－|b|＋1. 0＜|a|≤2，∴当sinx＝－时，|a|2－|b|＋1＝0；当sinx＝1时，－|a|－|b|＝－4.由⇒∴|a＋b|2＝8＋4，即|a＋b|＝2.◎规律总结：平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用数量积可以计...
