高中数学 第2章 平面向量 7 向量应用举例 7.1 点到直线的距离公式 7.2 向量的应用举例练习 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP专享VIP免费

7.1点到直线的距离公式7.2向量的应用举例课时跟踪检测一、选择题1．已知直线l：5x－y－7＝0，向量P＝(k＋1,2k－3)，且P∥v，则k的值为(向量v为l的方向向量)()A．B．C．D．－解析：l的方向向量v＝(1,5)，由v与P平行得5(k＋1)＝2k－3.解得k＝－.答案：D2．和直线3x－4y＋7＝0平行的向量a及垂直的向量b分别是()A．a＝(3,4)，b＝(3，－4)B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)C．a＝(4,3)，b＝(3，－4)D．a＝(－4,3)，b＝(3,4)解析：直线3x－4y＋7＝0的方向向量为(4,3)，法向量为(3，－4)，故a＝(4,3)，b＝(3，－4)．答案：C3．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则△ABC一定是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则AC·(BC＋BA－AC)＝0，即AC·(BC＋BA＋CA)＝0，∴2AC·BA＝0，∴AC⊥BA，∴∠A＝90°.故选C．答案：C4．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为()A．(－2,4)B．(－30,25)C．(10，－5)D．(5，－10)解析：设5秒后点P运动到点A，则PA＝PO＋OA＝5v＝(20，－15)，∴OA＝(20，－15)＋(－10,10)＝(10，－5)．答案：C5．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于()A．以a，b为两边的三角形的面积B．以b，c为两边的三角形的面积C．以a，b为邻边的平行四边形的面积D．以b，c为邻边的平行四边形的面积解析： |b·c|＝|b|·|c|·|cosθ|，如图， a⊥c，∴|b|·|cosθ|就是以a，b为邻边的平行四边形的高，而|a|＝|c|，∴|b·c|＝|a|(|b|·|cosθ|)，∴|b·c|表示以a，b为邻边的平行四边形的面积，故选C．答案：C6．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A．6B．2C．2D．2解析： F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)，∴|F3|2＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2F1·F2＝4＋16＋2|F1|·|F2|·cos60°＝20＋2×2×4×＝28.∴|F3|＝2.答案：D二、填空题7．已知作用在A(1,1)点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为________．解析：F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)．又 起点坐标为A(1,1)，∴终点坐标为(9,1)．答案：(9,1)8．已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a＋b)，则向量a与向量b夹角的大小是________．解析：设a与b夹角为θ，则a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋cosθ＝0，整理得cosθ＝－，∴θ＝.答案：9．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则AO·BC等于________．解析：AO·BC＝AO·(AC－AB)＝AO·AC－AO·AB，因为OA＝OB，所以AO在AB上的投影为|AB|，所以AO·AB＝|AB|·|AB|＝2，同理AO·AC＝|AC|·|AC|＝，故AO·BC＝－2＝.答案：三、解答题10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.证明：以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设正方形ABCD边长为a，则B，D，C的坐标分别为(a,0)，(0，a)，(a，a)． E，F分别为AB，BC的中点，∴E，F.从而DE＝－(0，a)＝，AF＝－(0,0)＝，∴DE·AF＝×a＋(－a)×＝0.∴DE⊥AF，故AF⊥DE.11．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)．(1)求AB·AC和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状；(2)若M为BC边的中点，求|AM|.解：(1)由题知，AB＝(3，－1)，AC＝(－1，－3)，∴AB·AC＝(3，－1)·(－1，－3)＝－3＋3＝0.设向量CA、CB夹角为θ，根据夹角公式cos∠ACB＝cosθ＝. CA＝(1,3)，CB＝(4,2)，∴cos∠ACB＝＝，∴∠ACB＝. AB·AC＝0，∴AB⊥AC，即AB⊥AC.又 |AB|＝＝，|AC|＝＝.∴|AC|＝|AB|，即AC＝AB，∴△ABC是等腰直角三角形．(2) M为BC的中点，∴M(2,0)，∴AM＝(1，－2)，∴|AM|＝＝.12．已知正方形ABCD的面积为36，E为AB中点，点F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．解：分别以AB、AD所在直线为x轴和y轴，建立坐标系． 正方形面积为36，∴其边长为6.则B(6,0)，C(6,6)，E(3,0)，F(6,4...