3.2平面向量基本定理课时跟踪检测一、选择题1．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量CD＝()A．－BC＋BAB．－BC－BAC．BC－BAD．BC＋BA解析：由三角形法则和D是△ABC的边AB的中点得，BD＝BA，∴CD＝CB＋BD＝－BC＋BA.故选A．答案：A2．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()A．长方形B．平行四边形C．菱形D．梯形解析：AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2BC，故为梯形．答案：D3．如图所示，点P在∠AOB的对角区域MON的阴影内，且满足OP＝xOA＋yOB，则实数对(x，y)可以是()A．B．C．D．解析：由图及平面向量基本定理知x<0，y<0.答案：C4．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝3DC，则AD＝()A．－b＋cB．b－cC．b＋cD．b＋c解析：AD＝AB＋BD＝c＋BC＝c＋(AC－AB)＝c＋(b－c)＝b＋c.答案：C5．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有()①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ、μ有无数多对；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若实数λ、μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②解析：易知①④正确；对于②λ，μ应该是唯一的，所以②不正确；对于③，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ的值有无穷多个，所以③不正确．答案：B6.如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若AP＝ma＋nb，则m＋n＝()A．B．C．D．1解析：由题意可得AP＝2QP，QB＝2QR，因为AB＝a＝AQ＋QB＝AP＋2QR，①AC＝AP＋PC＝AP＋RP＝AP＋QP－QR＝AP＋AP－QR＝AP－QR＝b，②由①②解方程求得AP＝a＋b.再由AP＝ma＋nb可得m＝，n＝，m＋n＝.答案：C二、填空题7．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．解析：使a、b为基底则使a、b不共线，∴λ－2×2≠0.∴λ≠4.答案：{λ|λ≠4}8．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________.解析：设e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)，∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.∵e1与e2不共线，∴∴m＝，n＝－，∴e1＋e2＝a－b.答案：a－b9．如图，在四边形ABCD中，DC＝AB，E为BC的中点，且AE＝xAB＋yAD，则3x－2y＝________.解析：由题意得AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(BA＋AD＋DC)＝AB＋AD＋·AB＝AB＋AD，又AE＝xAB＋yAD，∴xAB＋yAD＝AB＋AD，又∵AB与AD不共线，∴x＝，y＝，∴3x－2y＝3×－2×＝2－1＝1.答案：1三、解答题10．如图，在▱ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用c、d表示AB和AD.解：设AB＝a，AD＝b，则由M、N分别为DC、BC的中点可得BN＝b，DM＝a.AD＋DM＝AM，即b＋a＝c，①AB＋BN＝AN，即a＋b＝d.②由①②可得a＝(2d－c)，b＝(2c－d)，即AB＝(2d－c)，AD＝(2c－d)．11．如图，已知在△OAB中，点C是以点A为中心的点B的对称点，点D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b.(1)用a和b表示向量OC、DC；(2)若OE＝λOA，求实数λ的值．解：(1)∵OC＝OB＋BC＝OB＋2BA，BA＝OA－OB，∴OC＝2a－b，DC＝DB＋BC＝OB＋2BA＝OB＋2(OA－OB)＝2OA－OB＝2a－b.(2)AB＝b－a，CB＝2(b－a)，OC＝OB＋BC＝b＋2(a－b)＝2a－b，CE＝OE－OC＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b，又CD＝OD－OC＝b－(2a－b)＝b－2a.又CD、CE共线，存在唯一的实数m，使CE＝mCD.(λ－2)a＋b＝m.由向量相等的定义，得⇒∴λ＝.12.在△OAB中，AB上有一点P(P与A、B不重合)设OA＝a，OB＝b，OP＝xa＋yb(x，y均为非零实数)．证明：x＋y＝1且AP＝PB.证明：设AP＝λPB(λ＞0)，则AP＝AB＝·(OB－OA)＝·(b－a)，OP＝OA＋AP＝a＋(b－a)＝b＋a，又∵OP＝xa＋yb，∴x＝，y＝，∴x＋y＝＋＝1，且＝λ，即AP＝PB.13．如图，在△ABC中，E为AB的中点，BD＝BC，AD∩CE＝M.设BA＝a，BC＝b，试用a，b表示向量BM.解：过E作EF∥BC交AD于F，∵E是AB中点，∴F为AD中点，∴EF＝BD＝＝DC.∵△EFM∽△CDM，∴EM＝MC＝(BC－BM)．∵BM－BE＝EM＝(BC－BM)，∴BM＝BE＋BC＝BA＋BC＝a＋b.∴BM＝a＋b.
