第2课时向量数量积的坐标表示、模、夹角[学生用书P112(单独成册)])[A基础达标]1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()A．－12B．－6C．6D．12解析：选D．2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.2．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于()A．0B．1C．－2D．2解析：选D．2a－b＝(3，n)，由2a－b与b垂直可得(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0，所以n2＝3，所以|a|＝2.3．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于()A．4B．2C．8D．8解析：选D．易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝＝8.4．设向量a＝(，1)，b＝(x，－3)，c＝(1，－)，若b∥c，则a－b与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选D．因为b∥c，所以－x＝(－3)×1，所以x＝，所以b＝(，－3)，a－b＝(0，4)．所以a－b与b的夹角的余弦值为＝＝－，所以a－b与b的夹角为150°.5．已知O为坐标原点，向量OA＝(2，2)，OB＝(4，1)，在x轴上有一点P使得AP·BP有最小值，则点P的坐标是()A．(－3，0)B．(2，0)C．(3，0)D．(4，0)解析：选C．设点P的坐标为(x，0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)．AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，所以当x＝3时，AP·BP有最小值1.此时点P的坐标为(3，0)．6．设向量a＝(1，2)，b＝(x,1)，当向量a＋2b与2a－b平行时，a·b等于__________．解析：a＋2b＝(1＋2x，4)，2a－b＝(2－x，3)，因为a＋2b与2a－b平行，所以(1＋2x)×3－4×(2－x)＝0，所以x＝，a·b＝(1，2)·＝1×＋2×1＝.答案：7．在四边形ABCD中，AC＝(1，2)，BD＝(－4，2)，则该四边形的面积为________．解析：AC·BD＝(1，2)·(－4，2)＝0，故AC⊥BD.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S＝·|AC|·|BD|＝××2＝5.答案：58.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝，则AE·BF的值为________．解析：以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，B(，0)，E(，1)，F(x，2)．故AB＝(，0)，AF＝(x，2)，AE＝(，1)，BF＝(x－，2)，所以AB·AF＝(，0)·(x，2)＝x.又AB·AF＝，所以x＝1.所以BF＝(1－，2)．所以AE·BF＝(，1)·(1－，2)＝－2＋2＝.答案：9．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时：(1)ka＋b与a－3b垂直？(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们同向还是反向？解：(1)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．当(ka＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．由(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0.解得k＝19，即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，得解得所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，因为λ＜0，所以ka＋b与a－3b反向．10．已知向量a＝(1，)，b＝(－2，0)．(1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角；(2)当t∈[－1，1]时，求|a－tb|的取值范围．解：(1)因为向量a＝(1，)，b＝(－2，0)，所以a－b＝(1，)－(－2，0)＝(3，)，所以cos〈a－b，a〉＝＝＝.因为〈a－b，a〉∈[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为.(2)|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝4＋3.易知当t∈[－1，1]时，|a－tb|2∈[3，12]，所以|a－tb|的取值范围是[，2]．[B能力提升]1．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角大小为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选C．设a与c的夹角为θ，依题意，得a＋b＝(－1，－2)，|a|＝.设c＝(x，y)，因为(a＋b)·c＝，所以x＋2y＝－.又a·c＝x＋2y，所以cosθ＝＝＝＝－，所以a与c的夹角为120°.2．如果向量a与b的夹角为θ，那么我们称a×b为向量a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度为|a×b|＝|a|·|b|sinθ.如果|a|＝5，|b|＝1，a·b＝－3，则|a×b|＝________．解析：由于a·b＝|a||b|·cosθ＝－3，所以cosθ＝－.又因为θ为向量a与b的夹角，所以sinθ＝，...
