2.1.3向量的减法课时跟踪检测[A组基础过关]1．化简下列各式：①AB＋BC＋CA；②AB－AC＋BD－CD；③OA－OD＋AD；④NQ＋QP＋MN－MP.结果为零向量的个数是()A．1B.2C．3D.4解析：对于①，AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0；对于②，AB－AC＋BD－CD＝(AB＋BD)－(AC＋CD)＝AD－AD＝0；对于③，OA－OD＋AD＝DA＋AD＝0；对于④，NQ＋QP＋MN－MP＝(NQ＋QP)＋(MN－MP)＝NP＋PN＝0.答案：D2．任给向量a，b，则下列各项中正确的是()A．|a＋b|＝|a|＋|b|B.|a－b|＝|a|－|b|C．|a－b|≤|a|－|b|D.|a－b|≤|a|＋|b|答案：D3.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中OA＝a，OB＝b，OC＝c，则EF等于()A．a＋bB.b－aC．c－bD.b－c解析：EF＝CB＝OB－OC＝b－c.答案：D4．已知|a|＝6，|b|＝9，则|a－b|的取值范围是()A．[－3,3]B.[－3,15]C．[3,15]D.[0,3]解析：|a－b|≤|a|＋|b|＝15，|a－b|≥||a|－|b||＝3.答案：C5．对任意向量a，b，有下列式子：①a＋b＝b＋a；②(a＋b)＋c＝b＋(a＋c)；③|a＋b|＝|a|＋|b|；④|a＋b|≤|a|＋|b|.其中恒成立的有()A．1个B.2个C．3个D.4个解析：①②④成立，故选C.答案：C6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则BA－BC－OA＋OD＋DA＝________.解析：BA－BC－OA＋OD＋DA＝CA－OA＋OA＝CA.答案：CA7．若向量a与b是互为相反向量，且|a|＝|b|＝2，则|a－b|＝________.答案：48．如图所示，已知在矩形ABCD中，|AD|＝4，|AB|＝8.设AB＝a，BC＝b，BD＝c，求|a－b－c|.解：如图，b＋c＝BD′，a－b－c＝a－(b＋c)＝a－BD′＝BB′－BD′＝D′B′，则|a－b－c|＝|D′B′|＝＝8.[B组技能提升]1．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A.AD＋BE＋CF＝0B.BD－CF＋DF＝0C.AD＋CE－CF＝0D.BD－BE－FC＝0解析：∵AD＝DB，∴AD＋BE＝DB＋BE＝DE＝FC，∴AD＋BE＋CF＝0，或AD＋BE＋CF＝AD＋DF＋CF＝AF＋CF＝0.答案：A2．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC一定是()A．等边三角形B.直角三角形C．等腰三角形D.等腰直角三角形解析：由|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，得|CB|＝|AB＋AC|，即|AB－AC|＝|AB＋AC|，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选B.答案：B3．下列各式中化简正确的是________．①AM＋OP＋NO＋MN＝AP；②AM－OM＋OC＝AC；③AD－AB＋AC＝DC；④AB－BD－DC＝AC.解析：①中AM＋OP＋NO＋MN＝AM＋MN＋NO＋OP＝AP，①正确；②中AM－OM＋OC＝AM＋MO＋OC＝AC，②正确；③④错误．答案：①②4．已知△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，有下列结论：①|AB＋AC|＝|AB－AC|；②|BC－BA|＝|CB－CA|；③|AB－CB|＝|AC－BC|；④|AB－AC|2＝|BC－AC|2＋|CB－AB|2.其中正确的序号为________．解析：如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴▱ABDC为正方形．∴|AB＋AC|＝|AD|，|AB－AC|＝|CB|，|AD|＝|CB|，故①正确；|BC－BA|＝|AC|，|CB－CA|＝|AB|，|AC|＝|AB|，故②正确；|AB－CB|＝|AC|，|AC－BC|＝|AB|，故③正确；|AB－AC|2＝|CB|2，|BC－AC|2＋|CB－AB|2＝|BA|2＋|CA|2，|CB|2＝|BA|2＋|CA|2，故④正确．答案：①②③④5．若向量a，b满足|a|＝4，|a－b|＝5，|a＋b|＝5，求|b|.解：如图，作OA＝a，OB＝b，再以OA，OB为邻边作▱OACB，则有OC＝a＋b，BA＝a－b.∵|a－b|＝|a＋b|＝5，∴|OC|＝|AB|.∴平行四边形OACB为矩形．∴|OB|2＝|BA|2－|OA|2＝52－42＝9，∴|b|＝|OB|＝3.6．点D，E，F分别是△ABC三边AB，AC，BC的中点，求证：(1)AB＋BF＝AC＋CF；(2)FA＋EB＋DC＝0.证明：(1)如图，在△ABF中，AB＋BF＝AF，在△ACF中，AC＋CF＝AF，所以AB＋BF＝AC＋CF.(2)因为点D，E，F分别是△ABC的三边AB，AC，BC的中点，所以四边形EDFC是平行四边形，所以ED＝－FC.又DA＝－DB，FD＝－DF，故FA＋EB＋DC＝(FD＋DA)＋(ED＋DB)＋(DF＋FC)＝(FD＋DF)＋(DA＋DB)＋(ED＋FC)＝(－DF＋DF)＋(－DB＋DB)＋(－FC＋FC)＝0.
