2.1向量的概念及表示[学生用书P101(单独成册)])[A基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是()①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量a共线的单位向量是.A．3B．2C．1D．0解析：选D．根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a共线的单位向量是或－，故④也是错误的．2．下列说法正确的是()A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行B．终点相同的两个向量不共线C．若|a|>|b|，则a>bD．单位向量的长度为1解析：选D．A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．3．设O是△ABC的外心，则AO，BO，CO是()A．相等向量B．模相等的向量C．平行向量D．起点相同的向量解析：选B．因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O到三个顶点A，B，C的距离相等，所以AO，BO，CO是模相等的向量．4．若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤＝b，其中正确的有()A．①④⑤B．③C．①②③⑤D．②③⑤解析：选B．①|a|>|b|不正确，a是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a∥b，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a是非零向量，故|a|>0正确；④|b|＝1，故④不正确；⑤是与a同向的单位向量，不一定与b同向，故不正确．5.如图所示，四边形ABCD和BCEF都是平行四边形．(1)写出与BC相等的向量：________；(2)写出与BC共线的向量：________．解析：两个向量相等，要求这两个向量不仅长度相等，而且方向相同．平行向量是指方向相同或相反的向量．这样只要两个向量平行，就一定可以平移到同一条直线上，所以平行向量也是共线向量．答案：(1)FE、AD(2)FE、AD、EF、DA、CB6.如图所示，O是正方形ABCD的中心，则①AO＝OC；②AO∥AC；③AB与CD共线；④AO＝BO.其中，所有表示正确的序号为________．解析：因为正方形的对角线互相平分，所以AO＝OC，①正确；AO与AC的方向相同，所以AO∥AC，②正确；AB与CD的方向相反，所以AB与CD共线，③正确；尽管|AO|＝|BO|，然而AO与BO的方向不相同，所以AO≠BO，④不正确．答案：①②③7.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行向量，与BC是共线向量，则m＝________．解析：因为A，B，C不共线，所以AB与BC不共线．又m与AB，BC都共线，所以m＝0.答案：08.在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a.(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．解：(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如图所示．9．如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A跳到A1或A2，用向量AA1、AA2表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B、C分别走了一步的所有情况．解：如图所示，在B处有3种走法；在C处有8种走法．[B能力提升]1.如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AD与BC的中点，则在以A、B、C、D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF方向相反的向量为________．解析：因为AB∥EF，CD∥EF，所以与EF平行的向量为DC，CD，AB，BA，其中方向相反的向量为BA，CD.答案：BA，CD2．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{PQ|P，Q∈M，且P，Q不重合}，则集合T有________个元素．解析：以矩形ABCD的四个顶点及它的对角线交点O五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有20个．但这20个向量中有8组向量是相等的，其余12个向量各不相等，即为AO(OC)、OA(CO)，DO(OB)，AD(BC)，DA(CB)，AB(DC)，BA(CD)，BO(OD)，AC，CA，BD，DB，由元素的互异性知T中有12个元素．答案：123．设在平面内给定一个四边形ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，求证：EF＝HG.证明：如图所示，连结AC．在△ABC中，由三角形中...
