【金版学案】2015-2016年高中数学第2章函数概念与基本初等函数I章末知识整合苏教版必修1一、函数的定义域、值域的综合应用例1已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足条件f(－x＋5)＝f(x－3)，f(2)＝0，且方程f(x)＝x有两个相等的实根，问是否存在实数m，n(m＜n)，使得f(x)的定义域为[m，n]时，值域为[3m，3n]？如果存在，求m，n的值；如果不存在，请说明理由．分析：主要考查二次函数的定义域、值域及与方程的结合．解析： f(－x＋5)＝f(x－3)，∴f(x)的图象的对称轴为直线x＝＝1，即－＝1.①又f(2)＝0，即4a＋2b＋c＝0，②又 方程f(x)＝x有两个相等实根，即ax2＋(b－1)x＋c＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(b－1)2－4ac＝0.③由①②③可得：a＝－，b＝1，c＝0.则f(x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋≤.故3n≤，即n≤.∴f(x)在[m，n]上单调递增，假设存在满足条件的m，n，则：解得m＝0或m＝－4，n＝0或n＝－4.又m＜n≤，∴m＝－4，n＝0.即存在m＝－4，n＝0满足条件．点评：求二次函数的值域一般采用配方法，结合其图象的对称性．解决定义域和值域共存问题时，不要盲目进行分类讨论，而应从条件出发，分析和探讨出解决问题的途径，确定函数的单调性，从而使问题得以解决．►变式训练1．若函数f(x)的定义域和值域都是[a，b]，则称[a，b]为f(x)的保值区间，求函数f(x)＝(x－1)2＋1的保值区间．解析：①当a1时，定义域里有1，而值域里没有1，∴不可能；③当1≤a0时，f(x)>1，对任意a，b∈R均有f(a＋b)＝f(a)f(b)．(1)求证：f(0)＝1；(2)求证：对任意x∈R，恒有f(x)>0；(3)求证：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)·f(2x－x2)>1，求x的取值范围．(1)证明：令a＝b＝0，得f(0)＝f2(0)，又 f(0)≠0，∴f(0)＝1.(2)证明：当x<0时，－x>0，∴f(0)＝f(x)f(－x)＝1.∴f(x)＝>0.又 x≥0时，f(x)≥1>0，∴对任意x∈R，恒有f(x)>0.(3)证明：设x10，∴f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)f(x1)． x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.又f(x1)>0，∴f(x2－x1)f(x1)>f(x1)，即f(x2)>f(x1)．∴f(x)是R上的增函数．(4)解析：由f(x)·f(2x－x2)>1，f(0)＝1得f(3x－x2)>f(0)，又 f(x)为增函数，∴3x1－x2>0⇒0
