二次函数的图象及性质（答题时间：30分钟）1.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，根据图象可知：当k____时，方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根。2.如果函数f（x）＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f（2＋t）＝f（2－t），那么比较f（1），f（2）与f（4）的大小。3.如果函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在区间（－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是________。4.二次函数y＝f（x）满足f（3＋x）＝f（3－x），且f（x）＝0有两个实根x1、x2，则x1＋x2＝_______。5.关于x的一元一次方程ax＋x＋4＝0的根在[－2，1]内，则a的取值范围是_________。6.当m∈________时，函数f（x）＝（m－2）x2－2mx－3＋2m的图象总在x轴下方。7.已知f（x）＝ax2＋bx＋c，g（x）＝ax＋b（a、b、c∈R），当x∈[－1，1]时，|f（x）|≤1（1）证明：|c|≤1。（2）x∈[－1，1]时，证明|g（x）|≤2。（3）设a＞0，当－1≤x≤1时，＝2，求f（x）。1.k<2解析：分析得方程ax2＋bx＋c＝k的图象是方程ax2＋bx＋c＝0的图象在y轴方向上移动k个单位得到的。方程ax2＋bx＋c＝0的图象向下移动两个单位时图象与x轴有一个交点，当向下移动的距离大于2时图象与x轴没有交点，所以k＜2；当图象向上移动时，不管移动多少个单位图象始终与x轴有两个交点，此时k＜0；综上所述要使方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，k的取值范围为：k＜2。2.解：∵对任意实数t都有f（2＋t）＝f（2－t）∴f（x）的对称轴为x＝2，而f（x）是开口向上的二次函数，故画图观察可得f（2）＜f（1）＜f（4），3.a≤－3解析：∵f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2的对称轴为x＝1－a，∵f（x）在区间（－∞，4]上是减函数，则只须1－a≥4，即a≤－3。4.6解析：∵二次函数y＝f（x）满足f（3＋x）＝f（3－x），∴函数的图象关于x＝3对称，∵f（x）＝0有两个实根x1、x2，且这两个实根关于对称轴对称，∴x1＋x2＝2×3＝65.（－∞，－5）∪（1，＋∞）解析：∵一元一次方程ax＋x＋4＝0的根在[－2，1]内，令f（x）＝ax＋x＋4，∴f（－2）f（1）＜0∴（－2a＋2）（a＋5）＜0∴（a－1）（a＋5）＞0∴a＞1或a＜－5，6.（）解析：函数f（x）＝（m－2）x2－2mx－3＋2m的图象总在x轴下方，即f（x）＜0恒成立，当m－2＝0，即m＝2时，f（x）＝－4x＋1，不满足要求；当m≠2时，只要解得：m<1。7.证明：（1）由条件知当＝1≤x≤1时，|f（x）|≤1，取x＝0得|c|＝|f（0）|≤1，即|c|≤1（2）（利用函数的单调性）由（1）得|c|≤1①当a＞0时，g（x）＝ax＋b在[－1，1]上是增函数，于是g（－1）≤g（x）≤g（1），（－1≤x≤1）∵|f（x）|≤1，（－1≤x≤1），|c|≤1，∴g（1）＝a＋b＝f（1）－c≤|f（1）|＋|c|＝2，g（－1）＝－a＋b＝－f（－1）＋c≥－（|f（－2）|＋|c|）≥－2，因此得|g（x）|≤2（－1≤x≤1）；②当a＜0时，g（x）＝ax＋b在[－1，1]上是减函数，于是g（－1）≥g（x）≥g（1），（－1≤x≤1），∵|f（x）|≤1（－1≤x≤1），|c|≤1∴|g（x）|＝|f（1）－c|≤|f（1）|＋|c|≤2综合以上结果，当－1≤x≤1时，都有|g（x）|≤2（3）解：∵a＞0，g（x）在[－1，1]上是增函数，当x＝1时取得最大值2，即g（1）＝a＋b＝f（1）－f（0）＝2…①∵－1≤f（0）＝f（1）－2≤1－2＝－1，∴c＝f（0）＝－1因为当－1≤x≤1时，f（x）≥－1，即f（x）≥f（0），根据二次函数的性质，直线x＝0为f（x）的图象的对称轴，由此得－＜0，即b＝0由①得a＝2，∴f（x）＝2x2－1
