第2课时函数的最大值、最小值1.函数f(x)=,x∈[3,5]的最大值、最小值分别为().A.2,0B.2,1C.,1D.2,答案:B解析:设任意的x1,x2∈[3,5],且x10,x2-1>0,x2-x1>0.∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴f(x)在[3,5]上是减函数.由减函数的性质可知,当x=3时,f(x)取得最大值2;当x=5时,f(x)取得最小值1.2.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a=().A.2B.±2C.-2D.1答案:B解析:由题意a≠0,当a>0时,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2.当a<0时,有a+1-(2a+1)=2,解得a=-2,∴a=±2.3.函数y=x2-3x+2的单调区间与最小值分别为().A.,-B.,-C.,-1D.,-1答案:A解析:函数的对称轴为,且开口向上,所以单调减区间为.y=x2-3x+2=≥-,所以当x=时,y=-.所以函数的最小值为ymin=-.4.函数f(x)满足:f(x+1)=x(x+3),x∈R,则f(x)的最小值为().(导学号51790162)A.0B.-2C.-D.-答案:D解析:由f(x+1)=x(x+3)=(x+1)2+(x+1)-2,得f(x)=x2+x-2=,所以f(x)的最小值是-.5.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3和最小值2,则m的取值范围是.答案:[1,2]解析:∵f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,∴f(0)=f(2)=3.又m>0,∴m∈[1,2].6.函数f(x)的图象是如图所示的折线段OAB,点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(3,0).定义函数g(x)=(x-1)·f(x),则函数g(x)的最大值为.(导学号51790163)答案:1解析:由图象可知:当0≤x≤1时,f(x)=2x;当11),若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值.解∵f(x)开口向上,对称轴x=a>1,∴f(x)在[1,a]上是单调减函数.∴f(x)的最大值为f(1)=6-2a;f(x)的最小值为f(a)=5-a2.∴6-2a=a,5-a2=1.∴a=2.8.设x∈R,求函数y=2|x-1|-3|x|的最大值.(导学号51790164)解解法一:去掉绝对值符号后,可得y=故可得如图所示的图象.由图可知,当x=0时,ymax=2.解法二:当x≥1时,y≤-3;当0≤x<1时,-30时,f(x)<0,f(1)=-2.试判断f(x)在[-3,3)上是否有最大值和最小值.如果有,求出最大值和最小值;如果没有,说明理由.(导学号51790165)解设-3≤x10.∵x>0时,f(x)<0,∴f(x2-x1)<0.f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+x2-x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]=-f(x2-x1)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)在[-3,3)上是减函数.∴f(x)在[-3,3)上有最大值f(-3),但无最小值.由题意,令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0;令a=1,b=-1,得f(1-1)=f(1)+f(-1),∴f(-1)=f(0)-f(1)=2.∴f(-3)=f(-1)+f(-2)=3f(-1)=6.∴f(x)max=f(-3)=6,无最小值.
