第21课时平面向量基本定理课时目标1.了解平面向量的基本定理及其意义．2．能正确的运用平面向量基本定理解决问题．识记强化1．平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．已知两个非零向量a和b，作OA＝a、OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．如果a与b的夹角是90°，我们就说a与b垂直，记作a⊥b.课时作业一、选择题1．下列各组向量中，一定能作为基底的是()A．a＝0，b≠0B．a＝3e，b＝－3e(e≠0)C．a＝2e1－e2，b＝e1＋2e2(e1，e2不共线)D．a＝4e1＋4e2，b＝－2e1－2e2(e1，e2不共线)答案：C解析：由平面向量基本定理知，a，b不共线，∴选C.2．设a，b是不共线的两个非零向量，已知AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b.若A，B，D三点共线，则p的值为()A．1B．2C．－2D．－1答案：D解析：BD＝BC＋CD＝2a－b，AB＝2a＋pb，由A，B，D三点共线，知存在实数λ，使2a＋pb＝2λa－λb.∵a，b不共线，∴，∴p＝－1.3．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC＝e1，DC＝e2，则OC＝()A.(e1＋e2)B.(e1－e2)C.(2e2－e1)D.(e2－e1)答案：A解析：因为O是矩形ABCD对角线的交点，BC＝e1，DC＝e2，所以OC＝(BC＋DC)＝(e1＋e2)，故选A.4．已知非零向量OA，OB不共线，且2OP＝xOA＋yOB，若PA＝λAB(λ∈R)，则x，y满足的关系是()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0答案：A解析：由PA＝λAB，得OA－OP＝λ(OB－OA)，即OP＝(1＋λ)OA－λOB.又2OP＝xOA＋yOB，∴，消去λ得x＋y＝2.5．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点)，则AP＝()A．λ(AB＋AD)，λ∈(0,1)B．λ(AB＋BC)，λ∈C．λ(AB－AD)，λ∈(0,1)D．λ(AB－BC)，λ∈答案：A解析：如图所示，AC＝AB＋AD.又点P在AC上，∴AP与AC同向，且|AP|<|AC|，故AP＝λ(AB＋AD)，λ∈(0,1)．6．若点O是▱ABCD的两条对角线AC与BD的交点，且AB＝4e1，BC＝6e2，则3e2－2e1等于()1A.AOB.COC.BOD.DO答案：C解析：3e2－2e1＝(6e2－4e1)＝(BC－AB)＝(AD－AB)＝BD＝BO.二、填空题7．已知e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝________.答案：－2或解析：由题设，知＝，∴3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或.8．已知e1，e2是两个不共线向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________.答案：－解析：因为a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，所以存在唯一的μ，使2e1－e2＝μ(e1＋λe2)＝μe1＋μλe2，所以μ＝2，μλ＝－1，故λ＝－.9．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，AP＝yAD，AQ＝xAB，其中x，y∈R，且均不为0.若PQ∥BE，则＝________.答案：解析：∵PQ＝AQ－AP＝xAB－yAD，由PQ∥BE，可设PQ＝λBE，即xAB－yAD＝λ(CE－CB)＝λ＝－AB＋λAD，∴，则＝.三、解答题10.如图，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，试用a，b表示MN.解：由AN＝3NC，知N为AC的四等分点．MN＝MC＋CN＝AD－AC＝AD－(AB＋AD)＝－AB＋AD＝－a＋b.11．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，若存在实数λ和μ，使d＝λa＋μb与c共线，那么实数λ和μ应该是什么关系？解：∵d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，若d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，由得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．能力提升12．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.答案：解析：选择AB，AD作为平面向量的一组基底，则AC＝AB＋AD，AE＝AB＋AD，AF＝AB＋AD，又AC＝λAE＋μAF＝(λ＋μ)AB＋(λ＋μ)AD，于是得解得所以λ＋μ＝.13.如图，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，AE＝AD，AB＝a，AC＝b.求证：B、E、F三点共线．证明：如图所示，延长AD到G，使AG＝2AD，连接BG、CG，得到平行四边形ABGC，2则AG＝a＋b，AD＝AG＝(a＋b)AE＝AD＝(a＋b)AF＝AC＝b，BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝(b－2a)．又BF＝AF－AB＝b－a＝(b－2a)．所以BE＝BF，又因为BE与BF有公共点B，所以B、E、F三点共线．3
