§2集合的基本关系课后篇巩固提升A组基础巩固1.若集合A={x|x是等边三角形},B={x|x是三角形},则下列关系正确的是()A.A∈BB.A⫋BC.A=BD.B⊆A解析:等边三角形一定是三角形,但三角形不一定是等边三角形,由真子集定义知A⫋B.答案:B2.下列命题中,正确的有()①空集是任何集合的真子集;②若A⫋B,B⫋C,则A⫋C;③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集;④若⌀⫋A,则A≠⌀.A.①②B.②③C.②④D.③④解析:空集只是空集的子集而非真子集,故①错;真子集具有传递性,故②正确;若一个集合是空集,则没有真子集,故③错误;⌀是任何非空集合的真子集,故④正确.因此选C.答案:C3.已知集合M={x|x>3},N={x|x>2},则M与N的关系可用Venn图表示为()解析:因为M={x|x>3},N={x|x>2},所以M⫋N.故D选项正确.答案:D4.设A={x|2≤x≤8},B={x|2a≤x≤a+4},若B⊆A,则实数a的取值范围是()A.{a|1≤a≤4}B.{a|a>4}C.{a|a≥1}D.{a|1
a+4,解得a>4.综合①②,得a≥1,故选C.答案:C5.已知集合A={x|x2-4❑√x=0},则集合A的子集的个数为.解析:由x2-4❑√x=0,得{x>0,x2-4=0,解得x=2,所以A={2}.故A的子集为⌀,{2},共2个.答案:26.若{a,0,1}={c,1b,-1},则a=,b=,c=.解析:∵-1∈{a,0,1},∴a=-1.又0∈{c,1b,-1},∴c=0.由1b=1得b=1.综上,a=-1,b=1,c=0.答案:-1107.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B⊆A,则实数m=.解析:∵B⊆A,且m2不可能取-1,∴m2=2m-1,解得m=1,经验证符合题意.答案:18.若集合A={x|2≤x≤3},集合B={x|ax-2=0,a∈Z},且B⊆A,则实数a=.解析:当B=⌀时,a=0,满足B⊆A;当B≠⌀时,B={2a},又B⊆A,∴2≤2a≤3,即23≤a≤1,又a∈Z,∴a=1.综上知a的值为0或1.答案:0或19.已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⫋A,求实数a的取值范围.解:当B=⌀时,只需2a>a+3,即a>3,满足B⫋A.当B≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴,若B⫋A,则{a+3≥2a,a+3<-1或{a+3≥2a,2a>4,解得a<-4或22}.10.导学号85104006已知集合P={x∈R|x2+ax+4=0}.(1)若P={2},求实数a的值;(2)若{1}⫋P,求实数a的值.解:(1)因为P={2},所以方程x2+ax+4=0有两个相等的实根x1=x2=2,因此22+2a+4=0,解得a=-4,这时P={x∈R|x2-4x+4=0}={2},符合题意.故a=-4.(2)因为{1}⫋P,所以集合P中含有元素1,即1是方程x2+ax+4=0的根,所以12+a×1+4=0,解得a=-5.这时P={x∈R|x2-5x+4=0}={1,4},符合题意,故a=-5.B组能力提升1.设全集为R,集合M={x|y=2x+1},N={y|y=-x2},则()A.M⊆NB.N⊆MC.N=MD.M∈N解析:从代表元素入手,认识集合的意义,由一次函数的图像知M=R,由二次函数的图像知N=(-∞,0],即N⊆M.答案:B2.若集合A={x|x=n,n∈N},B={x|x=n2,n∈Z},则A与B的关系是()A.A⊈BB.A⊆BC.A=BD.A∈B解析:∵n∈Z,∴A={x|x=n,n∈N}⊆{x|x=n2,n∈Z}=B,故选B.答案:B3.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠,⌀B⊆A,则(a,b)不能是()A.(-1,1)B.(-1,0)C.(0,-1)D.(1,1)解析:当a=-1,b=1时,B={x|x2+2x+1=0}={-1},符合;当a=b=1时,B={x|x2-2x+1=0}={1},符合;当a=0,b=-1时,B={x|x2-1=0}={-1,1},符合;当a=-1,b=0时,B={x|x2+2x=0}={0,-2},不符合.答案:B4.(拓展探究)集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1∉A,且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,则S中无“孤立元素”的4元子集的个数是()A.4B.5C.6D.7解析:依题意,可分为两类:①4元素为相邻的四个数字,有{0,1,2,3},{1,2,3,4},{2,3,4,5};②4个元素分为两组,每组两元素相邻,有{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,4,5}.故共有6个4元子集.答案:C5.若{1,a,ba}={0,a2,a+b},则a2018+b2018=.解析:据题意得a≠0,∴b=0,∴{1,a,0}={0,a2,a},∴a2=1,解得a=1或a=-1.当a=1时,不满足集合的互异性,∴a=-1,∴a2018+b2018=1.答案:16.定义A*B={x|x∈A,且x∉B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为.解析:因为A*B={1,7},所以其子集为⌀,{1},{7},{1,7},个数为4.答案:47.已知集合A={1,3,-x3},B={x+2,1},是否存在实数x,使得B是A的子集?若存在,求出集合A,B;若不存在,请说明理由.解:因为B是A的子集,所以B中元素必是A中的元素,若x+2=3,则x=1,符合题意.若x+2=-x3,则x3+x+2=0,所以(x+1)(x2-x+2)=0.因为x2-x+2≠0,所以x+1=0,所以x=-1,此时x+2=1,集合B中的元素不满足互异性.综上所述,存在实数x=1,使得B是A的子集,此时A={1,3,-1},B={1,3}.8.导学号85104007已知A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},C={x2+(a+1)x-3,1}.求:(1)使A={2,3,4}的x的值;(2)使2∈B,B⫋A的a,x的值;(3)使B=C的a,x的值.解:(1)因为{2,4,x2-5x+9}={2,3,4},所以x2-5x+9=3,所以x=2或x=3.(2)因为B⫋A,所以3∈A,所以x2-5x+9=3.由(1)知x=2或x=3.又因为2∈B,所以x2+ax+a=2.当x=2时,4+2a+a=2,得a=-23.当x=3时,由32+3a+a=2,得a=-74.所以x=2,a=-23,或x=3,a=-74.(3)因为B=C,所以{x2+ax+a=1,x2+(a+1)x-3=3,得{a=-2,x=3或{a=-6,x=-1.
