线面垂直的综合运用（答题时间：40分钟）*1.下列条件中，能判定直线l⊥平面α的有________。①l与平面α内的两条直线垂直；②l与平面α内的无数条直线垂直；③l与平面α内的某一条直线垂直；④l与平面α内的任意一条直线垂直。**2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝1，则点C到平面B1BDD1的距离为________。**3.（无锡检测）△ABC中，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数为________。*4.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：与PC垂直的直线有______________；与AP垂直的直线有________。**5.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC其中正确结论的序号是________。**6.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面是边长为2的菱形，且∠ABC＝45°，PA＝AB，则直线AP与平面PBC所成角的正切值为________。**7.如图所示，已知平面α∩平面β＝EF，A为α，β外一点，AB⊥α于B，AC⊥β于C，CD⊥α于D，求证：BD⊥EF。**8.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点。证明：（1）CD⊥AE；（2）PD⊥平面ABE。***9.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AA1＝2a，D为棱B1B的中点。（1）证明：A1C1∥平面ACD；（2）求异面直线AC与A1D所成角的大小；（3）证明：直线A1D⊥平面ADC。1.④解析：由线面垂直的定义及判定定理可知④正确。2.解析：连接AC，则AC⊥BD，又BB1⊥AC，故AC⊥平面B1BDD1，所以点C到平面B1BDD1的距离为AC＝。3.4解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，又BC⊥AB，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，综上可知△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均为直角三角形。4.AB，BC，ACAB解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PC.与AP垂直的直线是AB。5.①②③解析：由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴EF⊥PB，故①②③正确。6.解析：作AE⊥BC于点E，则BC⊥平面PAE，故∠APE为直线AP与平面PBC所成的角，AE＝ABsin45°＝，∴tan∠APE＝＝。7.证明：∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD.∴A，B，C，D四点共面，∵AB⊥α，AC⊥β，α∩β＝EF，∴AB⊥EF，AC⊥EF，又∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABDC，∴BD⊥EF。8.证明：（1）在四棱锥P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE；（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，由（1），知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE。9.（1）证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，又A1C1⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴A1C1∥平面ACD；（2）解：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴A1A⊥AC，又∠BAC＝90°，∴AC⊥AB.又AA1∩AB＝A，∴AC⊥平面A1ABB1，又A1D⊂平面A1ABB1，∴AC⊥A1D，∴异面直线AC与A1D所成的角为90°，（3）证明：∵△A1B1D和△ABD都为等腰直角三角形，∴∠A1DB1＝∠ADB＝45°，∴∠A1DA＝90°，即A1D⊥AD，由（2）知A1D⊥AC，且AD∩AC＝A，∴A1D⊥平面ADC。
