1.3.2空间几何体的体积[学业水平训练]1.如图，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是________．解析：设此三棱柱ABC-A′B′C′的高为h，底面△ABC的面积为S，则其体积为V＝Sh＝1，又VC-A′B′C′＝Sh＝.∴VC-AA′B′B＝V－VC-A′B′C′＝1－＝.答案：2．侧面是正三角形的正三棱锥，体积是，则其表面积为________．解析：设正三棱锥的棱长为a，则其高h＝＝a，所以V＝×a2×a＝a3.由a3＝，解得a＝2.所以S表＝4×a2＝a2＝4.答案：43．如果一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比为________．解析：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的高均为2R，∴V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝πR2·2R＝R3，V球＝πR3，∴V圆柱∶V球∶V圆锥＝3∶2∶1.答案：3∶2∶14．若一圆台的上、下底面圆半径之比为1∶2，体积为7π，高为1，则此圆台的侧面积为________．解析：由圆台体积公式可求得上、下底面圆半径分别为和2，由此易得母线长为2.由圆台侧面积公式得S圆台侧＝π(＋2)×2＝6π.答案：6π5．圆柱形容器的内壁底面半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为________cm2.解析：设该铁球的半径为rcm，则由题意得πr3＝π×102×，解得r3＝53，∴r＝5cm，∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π(cm2)．答案：100π6.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2＝________.解析：设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh. E、F分别为AB、AC的中点，∴S△AEF＝S，V1＝h(S＋S＋)＝Sh，V2＝Sh－V1＝Sh，∴V1∶V2＝7∶5.答案：7∶57．正四棱柱的体对角线长为3cm，它的表面积为16cm2，求它的体积．解：设正四棱柱的底面边长为acm，高为hcm，则解得或所以V正四棱柱＝a2h＝4×1＝4(cm3)或V正四棱柱＝a2h＝()2×＝(cm3)．8.如图所示的图形是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少厘米？解：因为玻璃杯是圆柱形，所以铅锤取出后，水面下降部分的体积实际是一个小圆柱的体积，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20cm的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．因为圆锥形铅锤的体积为×π×()2×20＝60π(cm3)．设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x＝100πx(cm3)．所以60π＝100πx，解得x＝0.6cm.则铅锤取出后，杯中水面下降了0.6cm.[高考水平训练]1．设三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱，底面边长及侧棱长均为a，E，F分别是AA1，CC1的中点，则几何体B－EFB1的体积为________．解析：取BB1的中点D，连结DE，DF，则△DEF≌△BAC，∴三棱锥B－EFB1可分为两个体积相等的三棱锥B1－DEF和B－DEF.∴VB－EFB1＝VB－DEF＋VB1－DEF＝S△DEF·(B1D＋BD)＝S△ABC·BB1＝×a2·a＝a3.答案：a32．如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使球浸入水中且水面恰好与铁球顶部相切．将球取出后，容器内的水深是________．解析：铁球取出后，容器内水的体积不变，设球被取出后容器内水深为h. △ABC是正三角形，O为△ABC的中心，∴AO1＝3OM＝3r，注水后圆锥的底面半径O1C＝r，球取出后的圆锥底面半径为h.由题意，πr3＋π·(h)2·h＝π(r)2·3r，解得h＝r.答案：r3．如图，在边长为a的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为一个圆锥的侧面和底，求此圆锥的体积．解：设圆的半径为r，扇形的半径为x，则＝·2πx＝πx.又 ＝2πr，∴πx＝2πr.∴x＝4r，AC＝x＋r＋r.∴(5＋)r＝a，∴r＝()a.又 圆锥的高h＝＝r，∴圆锥体积V＝πr2·h＝πa3.4．如图所示的△OAB绕x轴和y轴各旋转一周，各自会产生怎样的几何体，分别计算其表面积与体积．解：绕x轴旋转一周形成的空间几何体是一个上、下底面半径分别为2,3，高为3的圆台，挖去了一个底面半径为3，高为3的圆锥，如图(1)所示．其表面积...
