1.1.1相似三角形判定定理(建议用时：40分钟)[学业达标]一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图1111，每个大正方形均由边长为1的小正方形组成，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()图1111【解析】△ABC中，AB＝，BC＝2，∠ABC＝135°.选项A的三角形，有一个内角为135°，且该角的两边长分别为1和，根据相似三角形的判定定理知，两三角形相似，故选A.【答案】A2.如图1112，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM＝CN，且＝，下列结论中正确的是()图1112A.△ABM∽△ACBB.△ANC∽△AMBC.△ANC∽△ACMD.△CMN∽△BCA【解析】∵CM＝CN，∴∠CMN＝∠CNM，∵∠AMB＝∠CNM＋∠MCN，∠ANC＝∠CMN＋∠MCN，∴∠AMB＝∠ANC.又＝，∴△ANC∽△AMB.【答案】B3.如图1113，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于()图1113A.B.C.D.【解析】∵AF⊥DE，∴Rt△DAO∽Rt△DEA，∴＝＝.【答案】D4.如图1114所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG＝2，则CF的长为()图1114A.4B.4.5C.5D.6【解析】∵E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，∴FE∥BC，由平行线的性质，得△FEG∽△CBG，∴＝＝.又FG＝2，∴GC＝4，∴CF＝6.【答案】D二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图1115所示，∠BAC＝∠DCB，∠CDB＝∠ABC＝90°，AC＝a，BC＝b.则BD＝________(用a，b表示).图1115【解析】由题意可得△ABC∽△CDB，∴＝，∴BD＝＝.【答案】6.如图1116，在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶BE＝________.图1116【解析】∵DE∶EC＝1∶2，∴DC∶EC＝3∶2，∴AB∶EC＝3∶2.∵AB∥EC，∴△ABF∽△CEF，∴＝＝，∴＝.【答案】3∶5三、解答题(每小题10分，共30分)7.如图1117，AD是直角三角形ABC斜边上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于点E、F，求证：＝.【导学号：61650002】图1117【证明】∵AB⊥AC，AD⊥BC，∴∠B＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∴∠B＝∠DAC.又∵DE⊥DF，∴∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝90°.∴∠BDE＝∠ADF，∴△BDE∽△ADF，∴＝，即＝.8.已知如图1118，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于点F.图1118求证：BP2＝PE·PF.【证明】连接PC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵AD是中线，∴AD垂直平分BC，∴PB＝PC，∴∠PBD＝∠PCD.∴∠ABP＝∠ACP.又∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F＝∠ACP，而∠CPE＝∠FPC.∴△PCE∽△PFC.∴＝，∴PC2＝PE·PF，即BP2＝PE·PF.[能力提升]9.如图1119，某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1700米.自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水主管道交于E处，EC＝500米.若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负责修建，每米造价800元.图1119(1)要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图中画出该路线；(2)求出各厂所修建的自来水管道的最低造价各是多少元？【解】(1)如图，过B，C，D分别作AN的垂线段BH，CF，DG交AN于H，F，G，BH，CF，DG即为所求的造价最低的管道路线.(2)在Rt△ABE中，AB＝900米，BE＝1700－500＝1200米，∴AE＝＝1500(米)，由△ABE∽△CFE，得到＝，即＝，可得CF＝300(米).由△BHE∽△CFE，得＝，即＝，可得BH＝720(米).由△ABE∽△DGA，得＝，即＝，可得DG＝1020(米).所以，B，C，D三厂所建自来水管道的最低造价分别是720×800＝576000(元)，300×800＝240000(元)，1020×800＝816000(元).
