第1章坐标系1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换学业分层测评新人教B版选修4-4一、选择题(每小题5分，共20分)1.已知平面上两定点A，B，且A(－1,0)，B(1,0)，动点P与两定点连线斜率之积为－1，则动点P的轨迹是()A.直线B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分【解析】设点P的坐标为(x，y)，由kPA·kPB＝－1，得·＝－1.整理得x2＋y2＝1(x≠±1).【答案】B2.在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos2x按伸缩变换后为()A.y＝cosxB.y＝3cosxC.y＝2cosxD.y＝cos3x【解析】由得代入y＝cos2x，得＝cosX.∴Y＝cosX，即曲线y＝cosx.【答案】A3.动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是()A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】∵M(2,2)在直线x＋y－4＝0上，∴点P的轨迹是过M与直线x＋y－4＝0垂直的直线.【答案】A4.将直线x＋y＝1变换为直线2x＋3y＝6的一个伸缩变换为()A.B.C.D.【解析】设伸缩变换为由(X，Y)在直线2x＋3y＝6上，∴2X＋3Y＝6，则2ax＋3by＝6.因此x＋y＝1，与x＋y＝1比较，∴＝1且＝1，故a＝3且b＝2.所求的变换为.【答案】A二、填空题(每小题5分，共10分)5.在伸缩变换：作用下，点P(1，－2)变换为P′的坐标为________.【解析】∵x＝1，y＝－2.∴X＝2x＝2，Y＝y＝－1，故P′(2，－1).【答案】(2，－1)6.△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹是________.【解析】取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－2,0)、C(2,0)、D(0,0).设A(x，y)，则|AD|＝.注意到A、B、C三点不能共线，化简即得轨迹方程：x2＋y2＝9(y≠0).【答案】以BC的中点为圆心，半径为3的圆(去掉两点)三、解答题(每小题10分，共30分)7.在平面直角坐标系中，求方程2x＋3y＝0经过伸缩变换后的图形.【解】由得①将①代入2x＋3y＝0，得X＋Y＝0，因此直线2x＋3y＝0变换成直线X＋Y＝0.8.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处.求城市B处于危险区内的时间.【解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40,0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N，点B到直线y＝x的距离d＝＝20.求得|MN|＝2＝20(km)，故＝1，所以城市B处于危险区的时间为1h.9.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图111，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M(0，)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)，观测点A(4,0)，B(6,0)同时跟踪航天器.图111(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解】(1)设曲线方程为y＝ax2＋.因为D(8,0)在抛物线上，∴a＝－.∴曲线方程为y＝－x2＋.(2)设变轨点为C(x，y).根据题意可知得4y2－7y－36＝0，解得y＝4或y＝－(不合题意).∴y＝4.得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去).∴C点的坐标为(6,4).|AC|＝2，|BC|＝4.所以当观测点A、B测得离航天器的距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令.
