第1章三角函数8函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质第2课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质学业分层测评北师大版必修4(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像()A．关于点对称B．关于直线x＝对称C．关于点对称D．关于直线x＝对称【解析】由于T＝＝π，∴ω＝2，则f(x)＝sin.当x＝时，sin＝0，∴该函数的图像关于点对称，故选A．【答案】A2．(2016·宝鸡高一检测)若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝()A．3B．2C．D．【解析】由题意知，函数在x＝处取得最大值1，所以1＝sin，所以ω＝.【答案】D3．将函数y＝sin的图像向右平移个单位，所得图像所对应的函数是()A．非奇非偶函数B．即奇又偶函数C．奇函数D．偶函数【解析】将函数y＝sin的图像向右平移个单位后，得函数y＝sin＝sin＝sin2x，为奇函数，故选C.【答案】C4．(2016·长丰高一检测)将函数f(x)＝sinωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则ω的最小值是()A．B．1C．D．2【解析】函数f(x)＝sinωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度得到函数f(x)＝sinω(其中ω>0)，将代入得0＝sin，故得ω的最小值是2.【答案】D5．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图像，如图1－8－5.则f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)＝()图1－8－5A．B．0C．2＋D．－2【解析】由题图知，该函数周期T＝6，∴ω＝＝，又A＝2. (3,0)相当于“五点法”作图的第三个点，∴×3＋φ＝π，∴φ＝0，即f(x)＝2sinx.根据对称性知，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)＝336[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＝0.【答案】B二、填空题6．设函数y＝1－3sin，当x＝________时，函数的最大值为4.【解析】由－≤x≤0知－≤2x＋≤，当2x＋＝－，即x＝－时，y＝sin取最小值－1，故y＝1－3sin取最大值4.【答案】－7．当－≤x≤时，函数f(x)＝sin的最大值是________，最小值是________．【解析】 －≤x≤，∴－≤x＋≤π. 当x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－，当x＋＝，即x＝时，f(x)max＝.【答案】－8．关于函数f(x)＝4sin(x∈R)有下列命题，其中正确的是_____．(填序号)【导学号：66470032】①y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；②y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；③y＝f(x)的图像关于点对称；④y＝f(x)的图像关于直线x＝对称．【解析】因为4sin＝4cos＝4cos，所以①正确，易得②④不正确，而f＝0，故是对称中心，③正确．【答案】①③三、解答题9.(2016·蒙城高一检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)一个周期的图像如图1－8－6所示，图1－8－6(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值；(2)求函数f(x)的表达式、单调递增区间．【解】(1)由题图知，函数f(x)的最小正周期为T＝4×＝π，函数的最大值为1，最小值为－1.(2)T＝，则ω＝2，又x＝－时，y＝0，所以sin＝0，而－<φ<，则φ＝，所以函数f(x)的表达式为f(x)＝sin，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.10．已知f(x)＝1＋sin，画出f(x)在x∈上的图像．【解】 －≤x≤，∴－π≤2x≤π，∴－π≤2x－≤π.(1)列表如下：x－－－2x－－π－π－0πf(x)211－11＋2(2)描点连线成图，如图所示．[能力提升]1．为了使函数y＝sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是()A．98πB．πC．πD．100π【解析】由题意至少出现50次最大值，即至少需用49个周期，所以49·T＝·≤1，所以ω≥π.【答案】B2．函数y＝－sin图像上距离原点最近的与x轴的交点是()A．B．C.D．【解析】令4x＋＝kπ，k∈Z，则x＝－＋(k∈Z)．当k＝0时，x＝－；当k＝1时，x＝.所以点为所求．【答案】A3．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．【解析】 f(x)在上具有单调性，∴≥－，∴T≥. f＝f，∴f(x)的一条对称轴为x＝＝.又 f＝－f，∴f(x)的一个对称中心的横坐标为＝，∴T＝－＝，∴T＝π.【答案】π4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>...
