8函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(2)课时跟踪检测一、选择题1．函数y＝sin(2x＋π)是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数解析：y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，周期为＝π. f(－x)＝－sin2(－x)＝sin2x＝－f(x)，∴y＝sin(2x＋π)为奇函数．答案：A2．已知函数f(x)＝sin，若存在α∈(0，π)，使得f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立，则α的值是()A．B．C．D．解析：函数f(x)的周期T＝＝π. f(x＋α)＝f(x＋3α)，∴T＝2α＝π，即α＝.答案：D3．已知函数y＝sin，则其图像的下列结论中，正确的是()A．向左平移后得到奇函数B．向左平移后得到偶函数C．关于点中心对称D．关于直线x＝轴对称答案：A4．若将函数y＝2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为()A．x＝－(k∈Z)B．x＝＋(k∈Z)C．x＝－(k∈Z)D．x＝＋(k∈Z)解析：由题意，将函数y＝2sin2x的图像向左平移个单位得y＝2sin2＝2sin，则平移后函数的对称轴为2x＋＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故选B．答案：B5．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图像关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为()A．2B．4C．6D．8解析：由题意得ω＋φ＝k1π＋(k1∈Z)，ω＋φ＝k2π(k2∈Z)，∴ω＝(k1－k2)π＋(k1，k2∈Z)．∴ω＝4(k1－k2)＋2(k1，k2∈Z)． ω＞0，∴ω的最小值为2.答案：A6．设函数f(x)＝cosωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于()A．B．3C．6D．9解析：依题意得f＝cos＝cos＝cosωx，∴－ω＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝－6k.又ω＞0，∴当k＝－1时，ω有最小值6.答案：C二、填空题7．函数y＝sin，x∈的单调递增区间为________．解析：由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z得函数的单调递增区间为，k∈Z.又x∈，∴单调递增区间为.答案：8．(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图像关于直线x＝对称，则φ的值是________．解析：由题意可得sin＝±1，所以π＋φ＝＋kπ，φ＝－＋kπ(k∈Z)，因为－<φ<，所以当k＝0时，φ＝－.答案：－9．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且图像关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：①图像关于点对称；②图像关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数．那么所有正确结论的编号为________．解析： ＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x＋φ)，又 f(x)关于x＝对称，∴sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋，∴φ＝kπ＋，k∈Z，又 φ∈，∴令k＝0得φ＝，∴f(x)＝sin.令f(x)＝0得2x＋＝kπ，∴x＝－，k∈Z，令k＝1得一个对称中心，令－≤2x＋≤，－π≤x≤，∴f(x)的一个增区间为，又 ⊆，∴②④正确．答案：②④三、解答题10．已知函数f(x)＝sin＋.(1)求f(x)的最大值、最小值，及相应x的值；(2)求f(x)的最小正周期、对称轴和对称中心；(3)函数f(x)的图像至少向左平移多少个单位长度时才为偶函数？解：(1)当2x＋＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)有最大值，即当x＝＋kπ(k∈Z)时，f(x)max＝，当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)时，f(x)有最小值，即当x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)min＝.(2)由T＝知函数f(x)的最小正周期为T＝π.令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，∴对称轴为直线x＝＋(k∈Z)，令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)，∴对称中心为(k∈Z)．(3)由函数性质知若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b为偶函数，φ＞0，则φ至少为，即y＝sin＋＝cos2x＋为偶函数．∴应将函数y＝sin＋的图像平移至函数y＝sin＋的图像处．由函数图像平移方法知：y＝sin＋的图像――→y＝sin＋的图像，∴函数f(x)的图像至少向左平移个单位长度才为偶函数．11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图像与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为M.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈，求f(x)的值域．解：(1)由最低点为M得A＝2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得＝，即T＝π，ω＝＝＝2.由点M在图像上知，2sin＝－2，即sin＝－1.故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，∴φ＝2kπ－(k∈Z)．又 φ∈，∴φ＝.故f(x)＝2sin.(2) x∈，∴2x＋∈.当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，故f(x)的值域为[...
