高中数学 第1章 三角函数 1.1 任意角、弧度知识导航 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题VIP免费

1.1任意角、弧度知识梳理一、角的概念的推广1.定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.旋转开始时的射线叫做角α的始边，旋转终止时的射线叫做角α的终边，射线的端点叫做角α的顶点.2.角的分类:正角、零角、负角.3.象限角如果把角放在直角坐标系内来讨论，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.α是第一象限角时，可表示为{α|2kπ<α<2kπ+,k∈Z}；α是第二象限角时，可表示为{α|2kπ+<α<2kπ+π,k∈Z}；α是第三象限角时，可表示为{α|2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z}；α是第四象限角时，可表示为{α|2kπ+<α<2kπ+2π,k∈Z}.4.轴线角(象限界角)当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就称该角为轴线角，也叫象限界角.终边落在x轴正半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ,k∈Z}；终边落在x轴负半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+π,k∈Z}；终边落在y轴正半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+,k∈Z}；终边落在y轴负半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+,k∈Z}；终边落在坐标轴上的角可表示为{α|α=,k∈Z}.5.终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+2kπ,k∈Z}.二、弧度制1.角度制:规定周角的为1度的角，这种计量角的度量方法称为角度制.2.弧度的定义:规定圆弧上弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，即周角=1°，周角=1弧度.3.弧度与角度的换算360°=2πrad，180°=πrad，1°=rad≈0.01745rad，1rad=()°≈57.30°=57°18′.4.弧长公式:l=|α|·r(其中r为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数).5.扇形的面积公式:S扇形=l·r=|α|r2(其中r为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数).知识导学要理解任意角概念，可创设情境“转体720°，逆(顺)时针旋转”，从而知晓角有大于360°角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、象限界角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；再通过创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式，以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.疑难突破1.弧度制与角度制相比，具有哪些优点？剖析:(1)用角度制来度量角时，人们总是十进制、六十进制并用的.例如α=66°32′2″，其中66、32、2都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进(退)位的.于是，为了找出与角对应的实数(我们学的实数都是十进制)，需要经过一番计算，这就太不方便了.但在用弧度表示角时，只用十进制，所以容易找到与角对应的实数.(2)弧度制下的弧长公式l=|α|r、扇形面积公式S=|α|r2，与角度制下的弧长公式l=、扇形面积公式S=比较，不但具有更简洁的形式，而且在计算弧长和扇形面积时，也更为方便.2.为何说三角函数看成是以实数为自变量的函数时，角的集合与实数集R是一一对应关系？剖析:在用弧度制或角度制度量角的前提下，角的集合与实数集R建立了一种一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(角的角度数或弧度数等于这个实数)与它对应.于是，有了角的集合与实数集R的一一对应关系，就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数.要注意角度制是60进位制,类似22°30′这样的角,应该把它化为十进制22.5°，它与实数22.5对应，但弧度制不存在这个问题，因为弧度制是十进制的实数.