课时分层作业(二十四)复数的三角形式*(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列表示复数1＋i的三角形式中①；②；③；④；正确的个数是()A．1B．2C．3D．4B[∵r＝＝，cosθ＝，sinθ＝，∴辐角主值为，∴1＋i＝＝，故①③的表示是正确的，②④的表示不正确，故选B．]2．已知i为虚数单位，z1＝(cos60°＋isin60°)，z2＝2(sin30°－icos30°)，则z1·z2＝()A．4(cos90°＋isin90°)B．4(cos30°＋isin30°)C．4(cos30°－isin30°)D．4(cos0°＋isin0°)D[∵z2＝2(sin30°－icos30°)＝2·(cos300°＋isin300°)，∴z1·z2＝(cos60°＋isin60°)×2×(cos300°＋isin300°)＝4(cos360°＋isin360°)故选D．]3．计算的结果是()A．－9B．9C．－1D．1B[＝9＝9＝9，故选B．]4．若复数z＝r(cosθ＋isinθ)(r＞0，θ＜R)，则把这种形式叫作复数z的三角形式，其中r为复数z的模，θ为复数z的辐角．若一个复数z的模为2，辐角为，则＝()A．1＋iB．1－iC．－iD．＋iD[由复数z的模为2，辐角为，可得z＝2＝－1＋i.所以＝＝＝＋i.故选D．]5．适合＝1且argz＝π的复数z的个数是()A．0B．1C．2D．无穷多[答案]C二、填空题6．复数的代数形式是________．－i[＝cos－isin＝－i.]7．设z＝1－2i对应的向量为OZ，将OZ绕原点按顺时针方向旋转30°所得向量对应的复数的虚部为________．－[所得向量对应的复数为(1－2i)·＝(1－2i)＝－i，故虚部为－]8．(一题两空)复数1＋i的辐角主值是________，三角形式是_________________．[复数1＋i的模是＝，因为1＋i对应的点在第一象限且辐角的正切tanθ＝1，它的辐角主值为.三角形式为(cos＋isin)．]三、解答题9．已知z＝－2i，z1－·z2＝0，argz2＝，若z1，z2在复平面上分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1的立方根．[解]由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝，所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又argz2＝，所以z2＝，z1＝z2＝(1＋i)z2＝·＝2，所以z1的立方根为，k＝0,1,2，即，，.10．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且argz∈.(1)求z的三角形式；(2)记A、B、C分别表示复数z、ω、－2ω在复平面上的对应点．已知A、B、C三点成逆时针顺序，且△ABC为等边三角形，求tan(argω)．[解](1)由z2＋2z＋4＝0，得z＝(－2±2i)＝－1±i.∵argz∈，∴z＝－1－i应舍去，∴z＝－1＋i＝2.(2)由题意，CA：z－(－2ω)＝z＋2ω，CB：ω－(－2ω)＝3ω，∵|CA|＝|CB|，C、A、B位置成逆时针顺序，又∠ACB＝，∴把CA按逆时针方向旋转60°即得CB，∴3ω＝(z＋2ω)，将z＝2代入上式，解得ω＝－，由点B在第三象限知tan(argω)＝.1．复数z＝tanθ＋i的三角形式是()A．(sinθ＋icosθ)B．(cosθ＋isinθ)；C．－D．－D[因为<θ<π，所以cosθ<0，所以z＝tanθ＋i＝－[－sinθ＋i(－cosθ)]＝－，故选D．]2．(多选题)欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是()A．eπi＋1＝0B．＝1C．cosx＝D．e12i在复平面内对应的点位于第二象限AB[eπi＋1＝cosπ＋isinπ＋1＝0，A对；＝|cosx＋isinx|＝1，B对；cosx＝，C错；依题可知eix表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cosx，sinx)，故e12i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos12，sin12)，显然该点位于第四象限，D错．故选AB．]3．(多选题)已知复数z＝cosα＋icos2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值可能为()A．B．C．πD．ACD[由题意得：cosα＝－cos2α，∴2cos2α＋cosα－1＝0，解得：cosα＝－1或.∵0<α<2π，∴α＝π或或，故选ACD．]4．复数z＝cos＋isin是方程x5－α＝0的一个根，那么α的值等于________.＋i[由题意得，α＝＝cos＋isin＝＋i.]5．设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为z1、z2，z1、z2的辐角主值分别为α、β.若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan(α＋β)．[解]由题意可设z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ.∵△AOB的重心G对应的复数为＋i，∴＝＋i，即，∴∴tan＝，故tan(α＋β)＝＝.
