第三章§44.2换底公式一、选择题1.等于()A．3B．8C．27D．2[答案]D[解析]＝log39＝2.2．在，，log，loganbn(a，b均为不等于1的正数，且ab≠1)其中与logab相等的有()A．4个B．3个C．2个D．1个[答案]C[解析]＝logab，＝logba，log＝logba，loganbn＝logab，故答案为C.3．已知lg2＝a，lg3＝b，则log312＝()A.B.C.D.[答案]A[解析]log312＝＝＝.4．若y＝log56·log67·log78·log89·log910，则()A．y∈(0,1)B．y∈(1,2)C．y∈(2,3)D．y∈(3,4)[答案]B[解析]原式＝····＝＝lg510∈(1,2)．5．设log34·log48·log8m＝log416，则m的值是()A.B．9C．18D．27[答案]B[解析]原式可化为：··＝log442＝2，所以lgm＝2lg3＝lg9，所以m＝9.6．若log5·log36·log6x＝2，则x等于()A．9B.C．25D.[答案]D[解析]由换底公式，得··＝2，lgx＝－2lg5，x＝5－2＝.二、填空题7．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.[答案][解析]∵a＝log2m，b＝log5m，∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10.又∵m>0，∴m＝.8．2log510＋log50.25＋(－)÷＝________.[答案]－3[解析]原式＝2(log510＋log50.5)＋(－)＝2log5(10×0.5)＋5－－5－＝2＋5－5＝－3.三、解答题9．计算：(1)lg－lg＋lg12.5－log89·log34；(2)(log25＋log40.2)(log52＋log250.5)．[解析](1)解法1：lg－lg＋lg12.5－log89·log34＝lg(××12.5)－·＝1－＝－.解法2：lg－lg＋lg12.5－log89·log34＝lg－lg＋lg－·＝－lg2－lg5＋3lg2＋(2lg5－lg2)－·＝(lg2＋lg5)－＝1－＝－.(2)原式＝(log25＋log2)(log52＋log5)＝(log25＋log25－1)(log52＋log52－1)＝(log25－log25)(log52－log52)＝·log25·log52＝.10．已知log142＝a，用a表示log7.[解析]解法1：log142＝a，∴log214＝.∴1＋log27＝.∴log27＝－1.∵由对数换底公式，得log27＝＝，∴log7＝2log27＝2(－1)＝.解法2：∵由对数换底公式，得log142＝＝＝a，∴2＝a(log7＋2)，即log7＝.解法3：由对数换底公式，得log7＝＝＝2log27＝2(log214－log22)＝2(－1)＝.一、选择题1.＋等于()A．lg3B．－lg3C.D．－[答案]C[解析]＋＝＋＝＋＝＋＝＝.2．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg)2的值等于()A．2B.C．4D.[答案]A[解析]由根与系数的关系可知lga＋lgb＝2，lgalgb＝.于是(lg)2＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lgalgb＝22－4×＝2.二、填空题3．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝________.(用a，b表示)[答案]ab[解析]由于log37＝＝b，又log23＝a，所以log27＝ab.4．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝lgE－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．[答案]1000[解析]设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2、E1，则8－6＝(lgE2－lgE1)，即lg＝3.∴＝103＝1000，即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹．三、解答题5．化简下列各式(1)(log5＋log2)log52；(2)2log39＋log93－0.70－2－1＋25.[解析](1)原式＝(log25＋log25)·log52＝(2log25＋log25)log52＝log25·log52＝.(2)原式＝2log332＋log323－1－＋5＝4＋－1－＋5＝8.6．设a>0，a≠1，x，y满足logax＋3logxa－logxy＝3，用logax表示logay，并求当x取何值时，logay取得最小值．[解析]∵由换底公式得logax＋－＝3，整理得(logax)2＋3－logay＝3logax，∴logay＝(logax)2－3logax＋3＝(logax－)2＋.∴当logax＝，即x＝a时，logay取得最小值.7．若a、b是方程2lg2x－lgx4＋1＝0的两个实数根，求lg(ab)(logab＋logba)的值．[解析]原方程可化为2lg2x－4lgx＋1＝0.依题意知，lga＋lgb＝2，lga·lgb＝，∴lg(ab)(logab＋logba)＝(lga＋lgb)＝2×＝＝12.
