3．3几个三角恒等式变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角主要有以下三个基本的恒等变换：(1)代换；(2)公式的逆向变换和多向变换；(3)引入辅助角的变换．前面已利用诱导公式进行过简易的恒等变换，本节中将综合运用和(差)角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换．1．sin2＝________(用α表示)，cos2＝________(用α表示)，tan＝________＝________＝______(用α表示)．答案：±2．三角恒等式的证明方法有：(1)_________________________________________________；(2)_________________________________________；(3)__________________________________________________．答案：(1)从等式一边推导变形到另一边，一般是化繁为简(2)等式两边同时变形成同一个式子(3)将等式变形后(如作差法)再加以证明等3．积化和差公式：sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cosαsinβ＝_______________，cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sinαsinβ＝_______________________．答案：[sin(α＋β)－sin(α－β)]－[cos(α＋β)－cos(α－β)]4．和差化积公式：sinα＋sinβ＝2coscos，sinα－sinβ＝_________________________，cosα＋cosβ＝2coscos，cosα－cosβ＝________________________．答案：2cossin－2sinsin5．万能公式：设tanα＝t，则tan2α＝____________，1sin2α＝____________，cos2α＝____________．答案：和差与积的互化在三角变换中，所研究的三角式一般由几个简单的三角式经过加、减、乘、除四则运算组合而成．根据三角变形的需要，有时要将三角式的和与积的运算形式进行转化，才能使问题得到解决．和积互化的主要作用是减少三角函数的种类，改变角的表示形式．一般地，若两个三角函数对应的角的和或差为常数，则通过和积互化，可将这两个三角函数的和(差)或积化为只含一个三角函数符号的形式，有时通过和积互化，改变角的表示形式，为后继三角运算带来一定方便．三角变换对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点．1．函数y＝cos2＋sin2－1是()A．周期为2π的奇函数B．周期为2π的偶函数C．周期为π的奇函数D．周期为π的偶函数解析：y＝＋－1＝2＝－sin2xsin＝sin2x.∴是奇函数且周期T＝＝π.答案：C2．为了得到函数y＝sinxcosx＋cos2x的图象，只需将函数y＝sin2x的图象()A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度解析： y＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，∴将y＝sin2x的图象向左平移个单位长度可以得到．故选A.答案：A3．已知α∈，sinα＝，则tan2α＝__________.解析： sinα＝，α∈，∴cosα＝－＝－.∴tanα＝＝－.∴tan2α＝＝＝－.答案：－4．函数y＝coscos的值域是________．解析：y＝coscos＝sincos＝sin＝cos2x∈.答案：5．若A＋B＝120°，则sinA＋sinB的最大值是________．解析：sinA＋sinB＝2sincos＝cos≤，∴最大值为.答案：6．函数f(x)＝cos2x－2sinxcosx的最小正周期是________．解析：f(x)＝cos2x－sin2x＝2cos，∴T＝π.答案：π7．若tanθ＝3，则sin2θ－cos2θ的值为________．答案：8．若cosα＝，且α∈，则tan＝________．答案：9．求函数f(x)＝cos4x＋sin2x的最大值和最小值．3解析：f(x)＝cos4x＋1－cos2x＝＋，当cos2x＝，即x＝＋，k∈Z时，f(x)min＝；当cos2x＝0或1时，即x＝，k∈Z时，f(x)max＝1.10．已知tan＝3，求sin2θ－2cos2θ的值．解析：由tan＝3，＝3，得tanθ＝，sin2θ＝＝＝＝，cos2θ＝＝＝＝，∴原式＝－2×＝－.11．已知<α<2π，且cosα＝，求的值．解析： <α<2π，∴原式＝＝＝＝.12．已知－2cos(α＋β)＝2，求sin2β＋2cos2α的值．解析：由－2cos(α＋β)＝2，得sin(2α＋β)－2sinαcos(α＋β)＝2sinα，sin(2α＋β)－2×[sin(2α＋β)＋sin(－β)]＝2sinα.∴sinβ＝2sinα.∴sin2β＋2cos2α＝...
