3．3.1两条直线的交点坐标及两点间的距离1．求两直线的交点坐标的方法：解方程组，以方程组的解为坐标的点就是交点．2．两点间的距离公式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|＝．直线l1：x＝－1，l2：x＝2的位置关系为平行．(1)两点A(0，－4)与B(0，－1)间的距离为3.(2)已知两点A(2，5)，B(3，7)，则|AB|的值为.(3)P(x，y)到原点O(0，0)的距离d＝．►思考应用如何利用方程判断两直线的位置关系？解析：只要将两条直线l1和l2的方程联立，得方程组(1)若方程组无解，则l1∥l2；(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合．1．直线3x＋5y＋1＝0与直线4x＋3y＋5＝0的交点是(A)A．(－2，1)B．(－3，2)C．(2，－1)D．(3，－2)2．直线x＝1与直线y＝2的交点坐标是(A)A(1，2)B．(2，1)C．(1，1)D．(2，2)3．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一个定点，这个定点是(B)A．(2，3)B．(－2，3)C.D．(－2，0)解析：将直线化为a(x＋2)＋(－x－y＋1)＝0，故直线过定点(－2，3)．4．已知点A(a，0)，B(b，0)，则A，B两点间的距离为(D)A．a－bB．b－aC.D．|a－b|5．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是(B)A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：|AB|＝|AC|＝，|BC|＝，故△ABC为等腰三角形．11．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标为(C)A．(4，1)B．(1，4)C.D.2．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点是P(2，3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程是(C)A．3x＋2y＝0B．2x－3y＋5＝0C．2x＋3y＋1＝0D．3x＋2y＋1＝03．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|等于(C)A.B.C.D.解析：易知A(0，－2)，B，|AB|＝.4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于(C)A．5B．4C．2D．2解析：设A(x，0)，B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝＝＝2.5．根据图中信息写出：(1)|AB|＝________；|BC|＝________．(2)|CD|＝________；|DA|＝________．(3)|AC|＝________；|BD|＝________．2(1)2(2)2(3)36．已知M(1，0)，N(－1，0)，点P在直线2x－y－1＝0上移动，则|PM|2＋|PN|2的最小值为________．答案：2.47．求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．证明：证法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.解方程组得两直线的交点为(2，－3)．将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝4m－2－3m－9－m＋11＝0.这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.由于m取值的任意性，有解得x＝2，y＝－3.所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点(2，－3)．8．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)．(1)求BC边上的中线AM的长；(2)证明△ABC为等腰直角三角形．(1)解析：设点M的坐标为(x，y)，∵点M为BC边的中点，∴即M(2，2)，由两点间的距离公式得：|AM|＝＝.∴BC边上的中线AM长为.(2)证明：由两点间的距离公式得|AB|＝＝2，|BC|＝＝2，|AC|＝＝2，3∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC为等腰直角三角形．9．(1)求与点P(3，5)关于直线l：x－3y＋2＝0对称的点P′的坐标．(2)已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．解析：(1)设P′(x0，y0)，则kPP′＝，PP′中点为M.∴解得∴点P′坐标为(5，－1)．(2)当直线l1的斜率不存在时，方程为x＝1，此时l1与l的交点B的坐标为(1，4)．|AB|＝＝5符合题意．当直线l1的斜率存在时，设为k.则k≠－2，∴直线l1为y＋1＝k(x－1)，则l1与l的交点B为，∴|AB|＝＝5.解得k＝－，∴直线l1为3x＋4y＋1＝0.综上可得l1的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.1．关于两条直线相交的判定：(1)两直线组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．注意两直线的斜率一个存在，另一个不存在时，两直线也相交．2．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式适用于坐标系中的任意两点．3．对于特殊情况，可结合图形求解．(1)P1P2平行于x轴时，y1＝y2，|P1P2|＝|x2－x1|；(2)P1P2平行于y轴时，x1＝x2，|P1P2|＝|y2－y1|；4(3)P1，P2在直线y＝kx＋b上时，|P1P2|＝＝＝·|x2－x1|.5
