3．2二倍角的三角函数我们知道，两角和的正弦、余弦、正切公式与两角差的正弦、余弦、正切公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？二倍角公式又有何重要作用呢？1．在S(α＋β)中，令________，可得到sin2α＝________，它简记为S2α.答案：α＝β2sinαcosα2．在C(α＋β)中，令________，可得到cos2α＝________，它简记为C2α.答案：α＝βcos2α－sin2α3．在T(α＋β)中，令________，可得到tan2α＝________，它简记为T2α.答案：α＝β4．在C2α中考虑sin2α＋cos2α＝1可将C2α变形为cos2α＝________＝________．它简记为C′2α.答案：2cos2α－11－2sin2α5.的值是()A．sin2B．－cos2C.cos2D．－cos2答案：D6．设f(tanx)＝tan2x，则f(2)＝()A．－B.C．－D．4答案：A7．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是()A．πB．2πC.D.答案：C8．若cos＝，则cos2α＝________．答案：－9．sin2－cos2的值是________．答案：－10．tanA＋＝m，则sin2A＝________．1解析：tanA＋＝＋＝＝＝m，∴sin2A＝.答案：11．y＝cosx－sin2x－cos2x＋的最大值为________．答案：212．化简＋＝________．解析：＋＝＋＝(cos5°＋sin5°)＋(cos5°－sin5°)＝2cos5°.答案：2cos5°二倍角的正弦、余弦、正切公式1．公式S2α，C2α中的角α没有限制．但公式T2α需在α≠kπ＋和α≠kπ＋(k∈Z)时才成立．当α＝kπ＋，k∈Z时，虽然tanα不存在，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．例如：当α＝kπ＋，k∈Z时，tan2α＝tan2·＝tan(2kπ＋π)＝tanπ＝0.2．一般情况下：sin2α≠2sinα，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.若sin2α＝2sinα，则2sinαcosα＝2sinα，即sinα＝0或cosα＝1，此时α＝kπ(k∈Z)．若cos2α＝2cosα，则2cos2α－2cosα－1＝0，即cosα＝.若tan2α＝2tanα，则＝2tanα，∴tanα＝0，即α＝kπ(k∈Z)．3．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，是的二倍，3α是的二倍，是的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．例如：sin＝2sincos，cos＝cos2－sin2等．二倍角公式的逆用、变形应用1．特别是对二倍角的余弦公式，其变形公式在求值、化简、证明中有广泛的应用．2．注意右边化为左边的应用，如sin3αcos3α＝sin6α，4sincos＝2sin，＝tan80°，cos22α－sin22α＝cos4α等．3．把cos2α＝，sin2α＝称为降幂公式，把1－cos2α＝2sin2α，1＋cos2α＝2cos2α称为升幂公式，这几个公式可实现三角函数式的降幂或升幂的转化，同时可以完成2角的形式的转化．这些公式是解决三角问题的重要技巧和方法之一，在学习过程中，要注意应用．4．在理解倍角公式的同时，结合前面学过的内容，从中体会到三角函数公式中充满了辩证法．非同角公式中“和与差”“倍与半”“弦与切”“升与降”既是相对的概念，又可以求同存异、相辅相成．1．若sin＝，则cos等于()A．－B．－C.D.答案：A2．若＝，则tan2α＝()A．－B.C．－D.答案：B3．设f(sinx)＝cos2x，那么f等于_______．答案：－4．sinα＝，α∈，则sin2α＝________；tan2α＝________．答案：－－5．函数y＝sin4x＋cos4x的最小正周期是________．答案：6．函数y＝sin2x＋sin2x，x∈R的值域是________．答案：7．sin2－cos2等于________．答案：－8．(2014·陕西卷)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，则tanθ＝________．解析：利用向量的数量积列出关于θ的三角等式并利用倍角公式、同角三角函数的基3本关系式变形求解．因为a·b＝0，所以sin2θ－cos2θ＝0，2sinθcosθ＝cos2θ.因为0<θ<，所以cosθ>0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝.答案：9．若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα＝()A.B.C.D.解析：由已知得：cos2α＝. α∈，∴cosα＝.∴tanα＝.答案：D10．求值：sin6°sin42°sin66°sin78°＝________．解析：原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝＝＝＝.答案：11．(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)(1＋tan45°)＝________．解析：若α＋β＝，tan(α＋β)＝＝1，∴tanα＋tanβ＋tanα·tanβ＝1，...
