3．1.2两角和与差的正弦上一节我们研究了两角和与差的余弦，一个自然的想法是两角和与差的正弦等于什么？即sin(α±β)＝？本节我们就探索这样的问题，并加以应用．1．两角差的正弦公式____________________________________，这个公式对任意α、β都成立．答案：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ2．两角和的正弦公式____________________________________，这个公式对任意α、β都成立．答案：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ3．化简求值：cos44°sin14°－sin44°cos14°＝________________________________________________________.解析：方法一原式＝sin14°cos44°－cos14°sin44°＝sin(14°－44°)＝sin(－30°)＝－.方法二原式＝－(sin44°cos14°－cos44°sin14°)＝－sin(44°－14°)＝－sin30°＝－.答案：－4．已知0＜α＜＜β＜π，又sinα＝，sin(α＋β)＝，则sinβ＝________．解析：由0＜α＜＜β＜π，＜α＋β＜π，∴cosα＝，cos(α＋β)＝－，sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝.答案：5．已知cosα＝，α∈，则sin＝__________________________________________________________.解析：由α∈，cosα＝，得sinα＝－，sin＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×＝.答案：6．化简：sin(α＋β)cosα－[sin(2α＋β)－sinβ]＝__________________________________________________________.解析：原式＝sin(α＋β)cosα－sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＋sinβ＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＋sinβ＝sin(α＋β－α)＋sinβ＝sinβ.答案：sinβ1两角和与差的正弦两角和与差的正、余弦公式主要用于求值、化简、证明等三角变换，常见的规律如下：(1)配角的方法．通过对角的“合成”与“分解”，寻找欲求角与已知角的内在联系，灵活应用公式，如α＝(α＋β)－β，α＝(α＋β)＋(α－β)等．(2)公式的逆用与变形公式的活用．既要会将公式从左到右展开，又要会从右到左合并，还要掌握公式的变形．(3)“1”的妙用．在三角函数式中有许多关于“1”的“变形”，如1＝sin2α＋cos2α，也有1＝sin90°，1＝tan45°等．形如y＝asinα＋bcosα的三角函数式化成一个角的一个三角函数关于形如asinx＋bcosx(a，b不同时为零)的式子引入辅助角变形为Asin(x＋φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x＋φ)的形式．一般情况下，如果a＝Acosφ，b＝Asinφ，那么asinx＋bcosx＝A(sinx·cosφ＋cosxsinφ)＝Asin(x＋φ)．由sin2φ＋cos2φ＝1，可得＋＝1，∴A2＝a2＋b2，A＝±，不妨取A＝，于是得到cosφ＝，sinφ＝，从而得到tanφ＝，因此asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)(其中，φ角所在的象限由a，b的符号确定，φ角的值由tanφ＝确定)．通过引入辅助角φ，可以将asinx＋bcosx这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式，化为这种形式可解决asinx＋bcosx的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等．这种引入辅助角的变换在历年高考试题中出现的频率非常高，在解答高考物理试题时也常常被使用．1．sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝________．答案:12．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sinBcosC，那么这个三角形一定是________三角形．答案:等腰23．sin(54°－x)·cos(36°＋x)＋cos(54°－x)·sin(36°＋x)＝________．答案:14．sin75°＝________，sin15°＝________．答案:5．当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________．解析：f(x)＝sinx－2cosx＝sin(x－φ)，其中tanφ＝2，∴θ＝2kπ＋＋φ，k∈Z.∴cosθ＝－sinφ＝－.答案：－6．sincos－sinsin＝________．解析：原式＝sincos－cossin＝sin＝sin＝.答案：7．已知0＜β＜，＜α＜，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值．解析： ＜α＜，∴－＜－α＜0.∴sin＝－＝－.又 0＜β＜，∴＜＋β＜π.∴cos＝－＝－.sin(α＋β)＝－cos＝－cos＝－coscos－sinsin＝－×－×＝.8．已知0＜β＜＜α＜π，cos＝－，sin＝，求cos.解析：由已知得＜α－＜π，－＜－β＜，于是cos＝，sin＝.∴cos＝cos＝×＋×＝.9．(201...
