【优化指导】2015年高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课时跟踪检测新人教A版必修4考查知识点及角度难易度及题号基础中档稍难向量的数量积的基本运算3、5向量的夹角与垂直问题1、2、68、1112向量的模47、9、101．若a·b＜0，则a与b的夹角θ的取值范围是()A.B.C.D.解析：∵a·b＝|a||b|cosθ＜0，∴cosθ＜0.又θ∈[0，π]，∴θ∈.答案：C2．已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为()A．45°B．135°C．120°D．150°解析：cosθ＝＝＝－，又θ∈[0°，180°]，所以θ＝135°.答案：B3．已知两个不共线的单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论不正确的是()A．e1在e2方向上的投影为cosθB．e1·e2＝1C．e＝eD．(e1＋e2)⊥(e1－e2)解析：由于e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ，当θ＝0时，有e1·e2＝1，否则e1·e2≠1.故B不正确．答案：B4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()A．2B．4C．6D．12解析：a·b＝|a|×4cos60°＝2|a|，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，即|a|2－a·b－6|b|2＝－72，故|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6.答案：C5．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b的方向上的投影为______．解析：∵a·b＝|a||b|cosθ＝12，又|b|＝5，∴|a|cosθ＝，即a在b方向上的投影为.答案：6．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角为______．解析：由c⊥a得，a·c＝0，所以a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0.设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，所以向量a与b的夹角θ＝120°.1答案：120°7．若向量|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝________.解析：∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，∴a2－2a·b＋b2＝4.即|a|2－2a·b＋|b|2＝4，得1－2a·b＋4＝4，∴2a·b＝1.于是|a＋b|＝＝＝＝.答案：8．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，若向量2a＋kb与a＋b垂直，求k.解：a·b＝|a||b|cos＝2×1×＝1.因为2a＋kb与a＋b垂直，所以(2a＋kb)·(a＋b)＝0.所以2a2＋2a·b＋ka·b＋kb2＝0.所以2×22＋2＋k＋k＝0.所以k＝－5.9．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________.解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b，∴|a＋2b|＝，|a－2b|＝.∴cos120°＝＝＝＝－.∴＝.∴＝.答案：10．若向量a与向量b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72.求：(1)|a|；(2)|a＋b|.解：(1)(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，即|a|2－2|a|－24＝0，得|a|＝6.(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋2×6×4×＋16＝76.∴|a＋b|＝2.11．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且a与b具有关系|ka＋b|＝|a－kb|(k＞0)．(1)a与b能垂直吗？(2)若a与b夹角为60°，求k的值．解：(1)∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴(ka＋b)2＝3(a－kb)2，且|a|＝|b|＝1.即k2＋1＋2ka·b＝3(1＋k2－2ka·b)，∴a·b＝.∵k2＋1≠0，∴a·b≠0，即a与b不垂直．(2)∵a与b夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，∴a·b＝|a||b|cos60°＝.2∴＝.∴k＝1.12.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.(1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用OA，OB表示向量MC.(2)求MC·MD的取值范围．解：(1)由已知可得OC＝OA，MC＝OC－OM，易得OAMB是菱形，则OM＝OA＋OB，所以MC＝OC－OM＝OA－(OA＋OB)＝－OA－OB.(2)易知∠DMC＝60°，且|MC|＝|MD|，那么只需求MC的最大值与最小值即可，当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝，则MC·MD＝××cos60°＝.当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1，则MC·MD＝cos60°＝，所以MC·MD的取值范围为.1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．3．求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a|·|b|·cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”，而不能用“×”，也不能省去．3
