向量在几何中的应用、向量在物理中的应用1．和直线3x－4y＋7＝0平行的向量a及与此直线垂直的向量b分别是()A．a＝(3,4)，b＝(3，－4)B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)C．a＝(4,3)，b＝(3，－4)D．a＝(－4,3)，b＝(3,4)2．在△ABC中，有命题：①－＝；②＋＋＝0；③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；④若·＞0，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是()A．①②B．①④C．②③D．②③④3．一条渔船距对岸4km，它以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，则河水的流速为()A．km/hB．2km/hC．km/hD．3km/h4．已知△ABC的三个顶点A，B，C和平面内一点P，且＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是()A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边上或其延长线上D．P在AC边上5．已知向量＝(4，－5)，＝(－7,9)分别表示两个力f1，f2，则f1＋f2的大小为__________．6．在△ABC中，A(－1,2)，B(3,1)，C(2，－3)，则AC边上的高所在的直线方程为__________．7．若正方形ABCD的边长为1，点P在线段AC上运动，则·(＋)的最大值是__________．8．如图所示，若D是△ABC内一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC．9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长．(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．参考答案1．答案：C2．解析：对于①，应有－＝，故①错误．对于④，由·＞0，得||||cosA＞0，所以cosA＞0.所以A为锐角．但B或C是否为锐角，不能确定，故④错误．②③是正确的．答案：C3．解析：如图所示，设河水流速为|v1|，实际航向与水流方向的夹角为α，则sinα＝，所以α＝30°，|v1|＝＝(km/h)，即水流速度为km/h.答案：A4．解析：∵＋＋＝，∴＋＝＋＝，即＝2.∴A，C，P三点共线，即点P在AC边上．答案：D5．解析：f1＋f2＝＋＝(－3,4)，所以|f1＋f2|＝＝5.答案：56．解析：与AC边平行的向量为＝(3，－5)，设P(x，y)是所求直线上任意一点，则＝(x－3，y－1)，所以AC边上的高所在的直线方程为·(x－3，y－1)＝0，即3x－5y－4＝0.答案：3x－5y－4＝07．答案：8．证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知得a2－b2＝c2－d2，∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，∴e·(c－d)＝0.∵＝＋＝d－c，∴·＝e·(d－c)＝0.∴⊥，∴AD⊥BC．9．解：(1)由题设知AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，则AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)．所以|AB＋AC|＝2，|AB－AC|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t，5＋t)．由(AB－tOC)·OC＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0.化简得5t＝－11，解得t＝－，即t的值为－.
