高中数学 2.3.1平面向量基本定理练习（含解析）苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题VIP免费

2．3向量的坐标表示2．3.1平面向量基本定理情景：“神舟”十号宇宙飞船在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度．在力的分解的平行四边形法则中，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和．思考：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？1．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使________．这个定理叫________________．答案：a＝λ1e1＋λ2e2平面向量基本定理2．不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．答案：基底3．基底的特征是________、________．答案：两个向量不共线平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．向量的正交分解：一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．重点诠释：对平面向量基本定理的理解主要体现在以下几个方面：(1)基底不唯一，关键是两基底不共线；(2)由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解；(3)基底给定时，分解形式唯一；1(4)以共线向量为基础，通过把一个向量在其他两个向量上分解，就可以揭示出该定理的本质，由此定理可以得到一个常用结论：若e1，e2不共线，则λ1e1＋λ2e2＝0⇔λ1＝λ2＝0.1．e1，e2是平面内的一组基底，则下面四组向量中，不能作为一组基底的是()A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1C．e1－2e2和4e2－2e1D．e1＋e2和e1－e2答案：C2．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的说法是________(填序号)．答案：②③3．已知向量a，b不共线，且c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1＝________．答案：04．若3x＋4y＝a且2x－3y＝b，其中a，b为已知向量，则x＋y＝________(用a，b表示)．答案：a＋b5．向量OA，OB，OC的终点A、B、C在一条直线上，且AC＝－3CB，设OA＝p，OB＝q，OC＝r，则以下等式成立的是()A．r＝－p＋qB．r＝－p＋2qC．r＝p－qD．r＝－q＋2q解析：由AC＝－3CB，得OC－OA＝－3(OB－OC)，2OC＝－OA＋3OB，OC＝－OA＋OB，即r＝－p＋q.答案：A6．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA＋OB＋OC＝0，那么AO＝________AD.解析：由D为BC边中点可得：OD＝(OB＋OC)，又2OA＋OB＋OC＝0，所以2OA＋2OD＝0.故AO＝OD，从而AO＝AD.答案：27．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝________．解析：CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，故λ＝.答案：8．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝________．解析：依题意可知M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于点D，则AM＝AD.①因为AD为中线，所以AB＋AC＝2AD＝mAM，即2AD＝mAM.②联立①②解得m＝3.答案：39．用向量证明三角形的三条边的中线共点．证明：设AD、BE、CF是△ABC的三条中线．设AC＝a，BC＝b，AG＝AD，则AB＝a－b，AD＝a－b，BE＝－a＋b.设AD与BE交于点G1，并设AG1＝λAD，BG1＝μBE，则AG1＝λa－b，BG1＝－a＋μb.又因为AG1＝AB＋BG1＝a＋(μ－1)b.所以解得λ＝μ＝，即AG1＝AD.再设AD与CF交于点G2，同理可得AG2＝AD，故点G1与点G2重合，即AD、BE、CF相交于一点．所以三角形的三条边的中线共点．10．如右下图，在△ABC中，M是边AB的中点，E是CM的中点，AE的延长线交BC于点F，MH∥AF.求证：BH＝HF＝FC.证明：设BH＝a，BM＝b.则BA＝2b，MH＝a－b，AF＝2MH＝2a－2b，BF＝AF＋BA＝2a－2b＋2b＝2a.所以HF＝BF－BH＝a.因此BH＝HF.同理可证：HF＝FC.因此结论成立．11．如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为60°，OA与OC，OB与OC的夹3角都为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB，求λ＋μ的值．解析...