第二章2.32.3.3直线与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1.平面α∥平面β,直线a∥α,直线b⊥β,那么直线a与直线b的位置关系一定是(C)A.平行B.异面C.垂直D.不相交[解析] α∥β,b⊥β,∴b⊥α.又 a∥α,∴b⊥a.2.设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面.(C)A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,m∥β,则α∥βC.若m∥n,m⊥α,则n⊥αD.若m∥α,α⊥β,则m⊥β[解析] m∥n,m⊥α,则n⊥α,故选C.3.如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在平面,那么(C)A.PA=PB>PCB.PA=PB<PCC.PA=PB=PCD.PA≠PA≠PC[解析] PM⊥平面ABC,MC⊂平面ABC,∴PM⊥MC,PM⊥AB.又 M为AB中点,∠ACB=90°,∴MA=MB=MC.∴PA=PA=PC.4.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G、H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是(B)A.EF⊥平面αB.EF⊥平面βC.PQ⊥GED.PQ⊥FH[解析]因为EG⊥平面α,PQ⊂平面α,所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ⊂平面β,得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH,故选B.5.下列命题正确的是(A)①⇒b⊥α;②⇒a∥b;③⇒b∥α;④⇒b⊥α.A.①②B.①②③C.②③④D.①②④[解析]由性质定理可得(1)(2)正确.6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总是保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是(A)A.线段B1CB.线段BC1C.BB1中点与CC1中点连成的线段D.BC中点与B1C1中点连成的线段[解析] DD1⊥平面ABCD,∴D1D⊥AC,又AC⊥BD,∴AC⊥平面BDD1,∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C.又 B1C∩AC=C,∴BD1⊥平面AB1C.而AP⊥BD1,∴AP⊂平面AB1C.又P∈平面BB1C1C,∴P点轨迹为平面AB1C与平面BB1C1C的交线B1C.故选A.二、填空题7.线段AB在平面α的同侧,A、B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为__4__.[解析]如图,设AB的中点为M,分别过A、M、B向α作垂线,垂足分别为A1、M1、B1,则由线面垂直的性质可知,AA1∥MM1∥BB1,四边形AA1B1B为直角梯形,AA1=3,BB1=5,MM1为其中位线,∴MM1=4.8.正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积是____.[解析]如图,由已知得PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,∴PA⊥平面PBC.又PB⊥PC,PB=PC,BC=2,∴PB=PC=.∴VP-ABC=VA-PBC=PA·S△PBC=××××=.三、解答题9.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.证明:A1C⊥平面BB1D1D.[解析] A1O⊥平面ABCD,∴A1O⊥BD.又底面ABCD是正方形,∴BD⊥AC,∴BD⊥平面A1OC,∴BD⊥A1C.又OA1是AC的中垂线,∴A1A=A1C=,且AC=2,∴AC2=AA+A1C2,∴△AA1C是直角三角形,∴AA1⊥A1C.又BB1∥AA1,∴A1C⊥BB1,∴A1C⊥平面BB1D1D.10.如右图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.(1)求证:D1C⊥AC1;(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E∥平面A1BD,并说明理由.[解析](1)连接C1D. DC=DD1,∴四边形DCC1D1是正方形,∴DC1⊥D1C. AD⊥DC,AD⊥DD1,DC∩DD1=D,∴AD⊥平面DCC1D1,D1C⊂平面DCC1D1,∴AD⊥D1C.又AD∩DC1=D,∴D1C⊥平面ADC1.又AC1⊂平面ADC1,∴D1C⊥AC1.(2)如图,连接AD1、AE、D1E,设AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连接MN. 平面AD1E∩平面A1BD=MN,要使D1E∥平面A1BD,须使MN∥D1E,又M是AD1的中点,∴N是AE的中点.又易知△ABN≌△EDN,∴AB=DE.即E是DC的中点.综上所述,当E是DC的中点时,可使D1E∥平面A1BD.B级素养提升一、选择题1.已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则(C)A.β内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直B.β内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直C.β内不一定存在直线与m平行,必存在直线与m垂直D.β内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直2.如图,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为H,则以下命题中,错误的命题是(D)A.点H是△A1BD的垂心B.AH垂直于平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1D.直线AH和BB1所成角为45°[解析]A中,△A1BD为等边三角...