【成才之路】2015-2016学年高中数学1.4.2第1课时周期函数课时作业新人A教版必修4基础巩固一、选择题1．(2011·高考陕西卷)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是()[答案]B[解析]由已知，得f(x)是周期为2的偶函数，故选B.2．函数y＝sin的最小正周期为()A．πB．2πC．4πD．[答案]C[解析]T＝＝4π.3．(2015·山东师大附中期中)下列函数中，周期为的是()A．y＝cos4xB．y＝sin2xC．y＝cosD．y＝sin[答案]A[解析]A．T＝＝＝；B.T＝＝＝π；C．T＝＝＝8π；D.T＝＝＝4π.4．函数y＝|cosx|的最小正周期是()A.B．C．πD．2π[答案]C5．下列说法中正确的是()A．当x＝时，sin(x＋)≠sinx，所以不是f(x)＝sinx的周期B．当x＝时，sin(x＋)＝sinx，所以是f(x)＝sinx的一个周期C．因为sin(π－x)＝sinx，所以π是y＝sinx的一个周期D．因为cos(－x)＝sinx，所以是y＝cosx的一个周期[答案]A6．若函数y＝2sinωx(ω>0)的图象与直线y＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离为，则ω的值为()A．3B．C.D．[答案]A[解析]函数y＝2sinωx的最小值是－2，该函数的图象与直线y＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离恰好是一个周期，故由＝，得ω＝3.二、填空题7．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)的周期为π，则ω＝______.1[答案]2[解析]由于周期T＝，所以＝π，解得ω＝2.8．已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，且f(1)＝1，则f(5)＝________.[答案]－1[解析]由于函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，则f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝－f(1)．又f(1)＝1，则f(5)＝－1.三、解答题9．y＝sinx，x∈[0,2π]是周期函数吗？为什么？将区间改为[0，＋∞)呢？当x∈[0，＋∞)时，－2π是它的一个周期吗？[解析]当x∈[0,2π]时，y＝sinx不是周期函数．∵当x＝时，f()＝sin＝1，而＋2π不在定义域内没有意义，若将区间改为[0，＋∞)，而2π是它的一个周期，f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＝sinx＝f(x)而－2π不是它的一个周期，因为，当x＝时，f()＝sin＝1，而－2π＝－π∉[0，＋∞)，无意义．10．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)f(x)＝1，求证：f(x)是周期函数．[证明]∵f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)．∴函数f(x)是周期函数，4是一个周期．能力提升一、选择题1．函数y＝cos(x＋)(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是()A．10B．11C．12D．13[答案]D[解析]T＝＝≤2，∴k≥4π又k∈N*∴k最小为13，故选D.2．函数y＝的周期是()A．2πB．πC.D．[答案]C[解析]T＝·＝.3．(2015·山师附中期中)函数y＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期为()A.B．πC．2πD．4π[答案]A[解析]∵＋＝|sinx|＋|cosx|.∴原函数的最小正周期为.4．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f等于()A．－B．1C．－D．2[答案]D[解析]f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin＝.二、填空题5．若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f()＝1，则f(－)＝________.[答案]1[解析]∵f(x)的周期为，且为偶函数，∴f(－)＝f(－3π＋)＝f(－6×＋)＝f()＝f(－)＝f(－)＝f()＝1.6．设函数f(x)＝3sin(ωx＋)，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f＝，则sinα的值为________．[答案]±[解析]∵f(x)的最小正周期为，ω>0，∴ω＝＝4.∴f(x)＝3sin.由f＝3sin＝3cosα＝，∴cosα＝.∴sinα＝±＝±.三、解答题7．已知函数y＝sinx＋|sinx|.(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．[解析](1)y＝sinx＋|sinx|＝函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π.8．已知函数y＝5cos(其中k∈N)，对任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k值．[解析]由5cos(πx－)＝，得cos(πx－)＝.∵函数y＝cosx在每个周期内出现函数值为的有两次，而区间[a，a＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．即2×≤3，且4×≥3.∴≤k≤.又k∈N，故k＝2,3.3
