课时作业(十)函数的最大值、最小值A组基础巩固1．函数y＝在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是()A．1，B.，1C.，D.，解析： y＝在[2,4]上是减函数，∴当x＝2时取最大值y＝1；当x＝4时取最小值y＝，故选A.答案：A2．函数f(x)＝的最大值是()A.B.C.D.解析： t＝1－x(1－x)＝2＋≥，∴0＜f(x)≤，即f(x)的最大值为，故选D.答案：D3．函数y＝|x－3|－|x＋1|有()A．最大值4，最小值0B．最大值0，最小值－4C．最大值4，最小值－4D．最大值、最小值都不存在解析：y＝|x－3|－|x＋1|＝ymax＝4，ymin＝－4.答案：C4．当0≤x≤2时，不等式a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(0，＋∞)解析：令f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1，其图象如图所示：由图象可知f(x)最小值为f(0)＝f(2)＝0.而a＜－x2＋2x恒成立，∴a＜0，故选C.答案：C5.已知函数f(x)＝x2＋2x＋a(x∈[0,2])有最小值－2，则f(x)的最大值为()A．4B．6C．1D．2解析：f(x)＝x2＋2x＋a(x∈[0,2])为增函数，所以最小值为f(0)＝a＝－2，最大值f(2)＝8＋a＝6.答案：B6．(2014·保定高一检测)函数f(x)＝2x－x2(x∈[0,3])的最大值M与最小值m的和等于()A．－1B．0C．1D．－2解析：由于函数f(x)＝2x－x2(x∈[0,3])在区间[0,1]上是增函数，在区间(1,3]上是减函数，故当x＝1时，函数取最大值M＝1，当x＝3时，函数取最小值m＝－3.因此M＋m＝－2.答案：D7．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则a的取值范围是__________．解析：由题意知f(x)在[1，a]上是单调递减的，又 f(x)的单调减区间为(－∞，3]，∴1＜a≤3.答案：(1,3]8．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值是__________．解析： f(x)＝＝1－在x∈[2,4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝＝.答案：9．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a＜b＜3)有最大值9，最小值－7.则a＝__________，b＝__________.解析： y＝－x2＋6x＋9的对称轴为x＝3，而a＜b＜3.∴函数在[a，b]单调增．∴1解得又 a＜b＜3，∴a＝－2，b＝0.答案：－2,010.利用单调性定义，证明：函数f(x)＝x＋在[1,2]上的单调性并求其最值．解析：设1≤x1＜x2≤2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)， 1≤x1＜x2≤2，∴x1－x2＜0,1＜x1x2＜4，∴x1x2－4＜0，x1x2＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．∴f(x)＝x＋在[1,2]上是减函数．从而函数的最大值是f(1)＝1＋4＝5，最小值是f(2)＝2＋2＝4.B组能力提升11．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A．90万元B．60万元C．120万元D．120.25万元解析：设公司在甲地销售x台，则在乙地销售(15－x)台，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋，∴当x＝9或10时，L最大为120万元．答案：C12．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a，b的值．解析：f(x)＝ax2－2ax＋2＋b＝a(x－1)2＋2＋b－a的对称轴方程是x＝1.(1)当a＞0时，f(x)在[2,3]上是增函数．∴即解得(2)当a＜0时，f(x)在[2,3]上是减函数．∴即解得综上所述，a＝1，b＝0或a＝－1，b＝3.13．如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30m，问每间笼舍的宽度x为多少时，才能使得每间笼舍面积y达到最大？每间最大面积为多少？解析：由题意知笼舍的宽为xm，则笼舍的长为(30－3x)m，每间笼舍的面积为y＝x(30－3x)＝－(x－5)2＋37.5，x∈(0,10)．当x＝5时，y取得最大值37.5，即每间笼舍的宽度为5m时，每间笼舍面积y达到最大，最大面积为37.5m2.14.已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．解析：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上．①当t＞1时，f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增．所以当x＝t时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f(x)在区间[t，t＋1]上先减后增，故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(...
