课题：1.3.3函数的奇偶性与单调性的综合学习目标展示1.理解奇偶函数的单调性的性质；2.会解决有关抽象函数的单调性与奇偶性的问题.衔接性知识1.如何用定义判断函数的奇偶性？答：按“求定义域化简解析式计算结论”来判断2.如何判断函数的单调性？基础知识工具箱要点性质奇函数的性质①是奇函数的图象关于原点对称②是奇函数偶函数的性质①是偶函数的图象关于轴对称②是奇函数奇偶函数的运算具有奇偶性的两个函数在公共定义域上有：奇＋奇＝奇、奇×奇＝偶、奇×偶＝奇、偶×偶＝偶单调性的性质①若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反②若，则与的单调性相反；③具有单调性的两个函数在公共定义域上有：增＋增＝增、减＋减＝减，其它情形规律不确定奇偶性与单调性的关系若为奇函数，则与时单调性相同；若为偶函数，则与时单调性相反1典例精讲剖析例1.函数的值域为________．[解析] 在(－∞，1]上单调递减，在[－3，＋∞)上单调递增．∴在[－3,1]上为减函数，∴当时，；当时，所以的值域为例2.已知函数是奇函数，是偶函数，且对于定义域内的任一都有，求与的解析式．[分析]利用函数的性质再得到一个关于与的等式，然后把与看作未知量，利用方程的观点求解与．[解析]由①用代替得， 为奇函数，为偶函数，∴②由①+②，得，由①－②，得例3.若函数是定义在上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且，则使得的的取值范围是()A．(－∞，2)B．(－2,2)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解析]由题意知，当时，，所以；由对称性知，时，为增函数，，，所以。故或，即时，，因此选B.[点评]可用数形结合法求解．由题意画出示意图如图所示可知选B.例4.已知函数对任意，总有，且当时，，，2(1)判断的奇偶性；(2)求证在上是减函数；(3)求在上的最大值及最小值．[分析]欲证(1)中为减函数，依定义，对必须证出.利用单调性求在上的最值，而将条件时，转化为时，是本题的关键．[解析](1) ，∴，又，∴，所以是奇函数(2)设则 ，据题意有∴，即，∴在上是减函数．(3)由(2)知，f(x)在上递减，∴最大，最小，而，f(－3)＝－f(3)＝2∴在上的最大值2，最小值为－2.精练部分A类试题（普通班用）1.对于函数f(x)＝，下列结论中正确的是()A．是奇函数，且在[0,1]上是减函数B．是奇函数，且在[1，＋∞)上是减函数C．是偶函数，且在[－1,0]上是减函数D．是偶函数，且在(－∞，－1]上是减函数[答案]D[解析]画出函数图象如图，图象关于轴对称，所此函数为偶函数，在(－∞，－1]上为减函数．2.函数y＝x－(1≤x≤2)的最大值与最小值的和为()A．0B．－C．－1D．1[答案]A[解析]y＝x－在[1,2]上为增函数，当x＝1时ymin＝－1，当x＝2时，ymax＝1.故选A.3.设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.[解析]f(x)＝(x＋1)(x＋a)为奇函数⇔g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，故g(－1)＝g(1)，∴a＝－1.4.设函数f(x)＝是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、c的值．[解析]由条件知f(－x)＋f(x)＝0，∴＋＝0，3∴c＝0又f(1)＝2，∴a＋1＝2b， f(2)<3，∴<3，∴<3，解得：－1
