高一数学简单几何体的面积与体积北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：本讲主要内容是简单几何体的面积与体积，包括：1、柱、锥、台体的侧面积与表面积；2、柱、锥、台体的体积；3、球的表面积与体积。二、学习目标1、掌握柱、锥、台、球的表面积与体积公式；2、了解有关侧面积公式的推导过程及其主要思想，渗透把有关立体几何问题转化为平面几何问题来解决的数学思想和类比的思想方法；3、能用公式计算简单组合几何图形的表面积和体积；会用表面积和体积公式解决一些实际问题；4、经历简单组合几何图形的表面积、体积计算过程，体会割补法的应用。三、知识要点（一）圆柱、圆锥、圆台的侧面积将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。1、圆柱的侧面展开图——矩形圆柱的侧面积2、圆锥的侧面展开图——扇形圆锥的侧面积3、圆台的侧面展开图——扇环圆台的侧面积（二）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。1、柱的侧面展开图——矩形直棱柱的侧面积2、锥的侧面展开图——多个共点三角形正棱锥的侧面积3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形正棱台的侧面积说明：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式①即锥体的侧面积公式；②c'＝c时即柱体的侧面积公式；（三）棱柱和圆柱的体积斜棱柱的体积＝直截面的面积×侧棱长（四）棱锥和圆锥的体积（五）棱台和圆台的体积说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式：①时即为锥体的体积公式；②S上＝S下时即为柱体的体积公式。（六）球的表面积和体积公式（一）简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体；补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，如正四面体可以补成一个正方体，如图：四、考点与典型例题考点一几何体的侧面展开图例1.有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端A、D，则铁丝的最短长度为多少厘米？DCBA解：展开后使其成一线段AC＝考点二求几何体的面积例2.设计一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是0.85m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）ESO解：答：略。考点三求几何体的体积例3.求棱长为的正四面体的体积。分析：将正四面体通过补形使其成为正方体，然后将正方体的体积减去四个易求体积的小三棱锥的体积。解：如图，将正四面体补形成一个正方体，则正方体的棱长为1，则：V正四面体＝V正方体－4V三棱锥＝1－。考点四求不规则几何体的体积例4.证明四面体的体积1sinsinsin6VabcC，其中a，b，c为自同一顶点S出发的三条棱SA、SB、SC的长，α，β为点S处的两个面角∠BSC、∠ASC，C为这两个面所夹二面角的大小。证明：通过补形，可将此三棱锥补成一个三棱柱，如图。则该三棱柱的体积可以利用“直截面面积×侧棱长”来进行求解，若设过A点的直截面为AHD，则由题意知：∠ADH＝C；又AD⊥SC，故AD＝SA×sinβ＝a·sinβ；若过B作BE⊥SC于E，则BE＝HD＝BC×sinα＝b·sinα.所以，从而有。考点五球的表面积和体积例5.在球心的同侧有相距为9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积和体积。分析：画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径解：设球的半径为R，O为球心，O1、O2分别是截面圆的圆心，如图。则O1A＝7，O2B＝20，OA＝OB＝R，从而分别解三角形OO2B和三角形OO1A得到OO1和OO2，由OO1－OO2＝9解得R＝25，从而球的表面积为2500π，球的体积为。考点六求点到平面的距离——等积法的应用例6.在正方体ABCD－A’B’C’D’中，已知棱长为a，求B到平面AB’C的距离。解：设B到面AB’C的距离为h，因为AB’＝B’C＝CA＝2a，所以SΔAB’C＝43（2a）2＝23a2，因此31·23a2·h＝VB－AB′C＝VB′－ABC＝31·21a2·a＝61a3，故h＝33a，即B到面AB′C的距离为33a。附：拟柱体通用体积公式拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体.它在这两个平面内的面叫做拟柱...
