第30课用二分法求方程的近似解（2）江苏省通州高级中学严东来【教学目标】1．使学生进一步理解利用二分法求方程的近似解的思想方法，能灵活地使用二分法求某些方程的近似解2．通过本节内容的学习，进一步培养学生的运算能力，数形结合，化归转化分类讨论等意识．【学习指导】用二分法求函数f(x)零点的步骤是：第一步：确定区间[a，b]，并验证f(a)·f(b)＜0，同时给定精确度；第二步：求区间(a，b)的中点x1；第三步：计算f(x1)；（1）若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；（2）若f(a)·f(x1)＜0，则令b=x1（此时零点x0∈(a，x1)）；（3）若f(a)·f(x1)＞0，则令a=x1（此时零点x0∈(x1，b)）．第四步：判断是否达到精确度：即若|a-b|＜，则得到零点近似值a或b；否则重复第二步~第四步．本节的重点是通过一些例题的分析与解决进一步培养学生的运算能力，数形结合，化归转化等意识，以提高学生的数学涵养．难点是有些题目的计算比较烦，一定要让学生耐心去算．【例题精析】例1．书本P80例3，例5．书本上的这两道题体现的方法比较好，要让学生掌握．例2．求方程x3－9x2－11x＋10＝0的一个实数解，精确到0.01．【分析】二分法求方程实数解的思想是非常简明的，但是为了提高解的精确度，用二分法求方程实数解的过程又是比较长的，有些计算不用工具甚至无法实施，这就需要借助于科学计算器．【解法】经检验，f(0)＝10＞0，f(1)＝－9＜0，所以函数f(x)＝x3－9x2－11x＋10在［0，1］内有解．如上下去，得到方程x3－9x2－11x＋10＝0实数解所在区间的下表．左端点右端点第1次01第2次0.51第3次0.50.75用心爱心专心第4次0.56250.625第5次0.593750.625第6次0.6093760.625第7次0.61718760.625第8次0.61718760.62109375至此，可以看出，区间［0.61718760.62109375］内的所有值，若精确到0.01，都是0.62，所以0.62是方程x3－9x2－11x＋10＝0精确以0.01的实数解．【评注】选好初定区间是使用二分法求近似解的前提条件，而耐心的计算又是最终解决问题的关键，培养学生的运算能力是老师非常重要的任务．例3．已知函数f(x)＝ax＋（a＞1）⑴证明：f(x)在（－1，＋∞）上增函数；⑵证明：f(x)＝0没有负数根；⑶若a＝3，求方程f(x)＝0的根（精确到0.1）【分析】二分法是一种重要的计算方法，在求方程的根、函数的零点以及现实生活中却有十分重要的应用，也是高考的热点内容．【解法】（1）f(x)＝ax＋1－（a＞1） 函数y＝ax（a＞1），y＝1－在（－1，＋∞）均为增函数，∴f(x)＝ax＋1－（a＞1）在（－1，＋∞）为增函数．∴f(x)在（－1，＋∞）上为增函数．⑵当x（－∞，－1）时，恒小于0．故当x（－∞，－1）时，f(x)恒大于零．∴f(x)＝0在（－∞，－1）上没有实根．当x（－1，0）时， f(x)在（－1，0上为增函数，计算f(0)＝－1＜0故对任意x（－1，0均有f(x)＜0,∴方程f(x)＝0没有负数根．⑶若a＝3，则f(x)＝3x＋计算f(0)＝－1＜0，f(1)＝2.5＞0根据解的存在性定理可知f(x)＝0在（0,1）上有实根．利用二分法即可求得它的一个根为0．3【评注】本题欲证函数的单调性常有两种方法，一是定义法，二是利用复合函数单调性，对于本题而言，利用复合函数单调性来说明显得简单．对于方程的根的探用心爱心专心讨常常借助于解的存在性定理来判别．例4．已知关于x的方程，其中．⑴当a=0时，求方程的根；⑵当a>0时，求证：方程有一根在0和1之间．【分析】可以利用解的存在性定理来进行证明．【解法】⑴时，，∴，方程为∴从而可得．⑵时，方程有两个根．①时，，由得，∴.∴，故有一根在（0，1）内．②时，， ，∴， ，∴，∴，故有一根在（0，）内．由①，②可知有一根在（0，1）内．【评注】分类讨论是高中数学里一十分重要的思想方法，本题中由于无法确定c的符号，故必须对c进行讨论，并且当时是证明了，而不是证明，这一点要予以注意．【本课练习】1．方程x5-5x2-lgx=0在区间（1，10）内的实数解的个数是（）A．3B．2C．1D．02．已知函数f(x)=ex+x3-2x，则在下列区间中，f(x)必有零点的为（）A．（-4，-3）B．（-3，-2）C．（-2，-1）D．（-1，0）3．方程2x3-4x2-3x=-3在区间（0，1）内的近似解为（精确到0.01）...
