第26课幂函数（1）江苏省通州高级中学严东来【教学目标】1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质．2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培养学生的观察能力，概括总结的能力．3．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力．【学习指导】本节的重点有两个：一是幂函数的定义；二是幂函数的图象与性质．研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数，如、及的图象研究归纳的图象特征和函数性质，通过对幂函数、及的图象研究归纳的图象特征和函数性质．难点也有两个：一是幂函数与指数函数定义是有区别的，学生容易混淆．二是幂函数的定义域与图象是复杂多变的，要根据指数的具体情况而定．学习时应该注意：⑴研究幂函数的性质时，通常将分数指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分数形式再去进行讨论；⑵对于幂函数，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即＞0（≠1）时图象是抛物线型；＜0时图象是双曲线型；＞1时图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象是横卧抛物线型．运用幂函数的性质比较函数值的大小，若底数不同，指数相同，则用幂函数的性质即可作出判断，若底数相同，指数不同，则用指数函数的性质来作出判断．解题的时候要特别注意灵活的使用幂函数的图象和性质．【例题精析】例1．写出下列函数的定义域，指出它们的奇偶性．并画出它们的用心爱心专心图象，观察这些图象，看看有什么共同点？⑴y＝；⑵y＝；⑶y＝；⑷y＝．【分析】分数指数幂可以与根式相互转化．把各函数解析式先化成根式形式即可．【解法】⑴；⑵；⑶y=；⑷．函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断．⑴的定义域为，⑵⑶⑷的定义域都是R；其中⑴既不是奇函数也不是偶函数，⑵⑷是奇函数，⑶是偶函数．它们的图象都经过点和，且在第一象限内函数图象自左而右呈上升趋势，即函数在单调递增．例2．仿照例1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象，看看有什么共同点？⑴y＝x－1；⑵y＝x－2；⑶y＝；⑷y＝．【分析】先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式．【解法】⑴；⑵；⑶；⑷．函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；⑴⑵⑷的定义域都是，⑶的定义域是；根据函数奇偶性的定义可得⑴⑷是奇函数，⑵是偶函数，⑶既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点，且在第一象限内函数图象自左向右呈下降趋势，并且以两坐标轴为渐近线．反应出这些函数在上单调递减．【评注】通过例1和例2的解决过程，体现数学学习的过程是一个用心爱心专心建立在经验基础上的主动建构的过程，让学生在合作中获取知识．【知识提炼】1．幂函数图象＝p、q互质＜00＜＜1＞1，q都是奇数p是奇数q是偶数p是偶数q是奇数2．幂函数图象性质①都过点(1，1)；②a＞0时，在第一象限内函数的图象随x的增大而上升，函数在区间上是单调增函数．当a＜0时，在第一象限内函数的图象随x的增大而下降，函数在区间上是单调减函数．③除原点外，任何幂函数图象与坐标轴都不相交，任何幂函数图象都不过第四象限；④任何两个幂函数图象最多有三个公共点．除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点．⑤a＞0时幂函数图象总过原点，a≤0时，幂函数图象不过原点．例3．讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：⑴【分析】根据幂函数的性质讨论定义域、奇偶性，单调性．【解法】⑴y＝x5的定义域是(－∞，＋∞)，值域也是(－∞，＋∞)，是奇函数， 5＞1，∴y＝x5在(－∞，＋∞)上是增函数．⑵ y＝x＝，用心爱心专心OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy∴定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域是(0，＋∞)，是偶函数， －＜0，∴y＝x在(－∞，0)是增函数，在(0，＋∞)，是减函数．【评注】由例3让学生对幂函数性质的认识有一个提升．例4．比较下列各题中两个值的大小．⑴(－1.5)与(－1.7...
