高一数学空间垂直关系北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：空间垂直关系的判定与性质1、线线垂直2、线面垂直3、面面垂直二、学习目标：1、掌握空间垂直关系的判定与性质定理，能证明有关垂直的简单命题；2、结合实例进一步认识空间两条直线的垂直关系（共面垂直和异面垂直）；3、通过定理的学习，培养和发展空间想象能力、推理论证能力和运用图形进行交流的能力；4、通过操作确认、直观感知，培养几何直观能力；5、通过对典型例子的分析和自主探索活动，理解数学概念和结论，培养严谨的思维习惯和严谨的科学态度，体会蕴含其中的思想方法。三、知识要点：一）异面直线所成角：1、异面直线所成角：过空间任意一点作异面直线的平行线，则这两条平行线相交所成角即为这两条异面直线所成角。异面直线所成角的范围：（0，]。注：两条相交直线所成角指的是两条相交直线形成的角中较小的角（锐角或直角）。2、异面直线垂直：如果两条异面直线a，b所成角为，则称这两条异面直线垂直，记作：a⊥b。二）直线与平面所成角1、直线与平面所成角：平面外一直线与平面相交，则该直线与它在该平面内的射影所成的角称为直线与平面所成的角；若直线与平面平行，则该直线与平面所成角为0；若直线a与平面α内任何一条直线都垂直，那么称该直线与该平面垂直，记做：a⊥α，此时称该直线a是平面α的一条垂线。说明：直线与平面所成角是直线与平面上任意一条直线所成角中最小的角；直线与平面所成角的定义分为三个部分，分别定义了直线与平面斜交、平行和垂直。用心爱心专心思考：画直线与平面垂直相交时，怎样画可使得垂直的直观性显得更强烈呢？——让直线与表示平面的平面多边形的一条边垂直（如下图所示）。直线与平面所成角的范围：α∈[0，].直线与平面平行时，α=0；直线与平面垂直时，α=；直线与平面斜交时，α∈（0，）。三）平面与平面所成角1、半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面；2、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角记作二面角α－AB－β。3、二面角的平面角：以二面角的棱上的任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，如图所示的∠AOB。平面角是直角的二面角叫做直二面角。用心爱心专心说明：二面角的取值范围：[0，π]。思考：当二面角取值分别为0，，π时，其面所在的平面分别是什么关系？试着画一画。4、两个平面互相垂直：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β，如下图中的两个阴影部分所示的平面相互垂直。四）异面直线垂直的判定方法1、利用定义：过空间任意一点作这两条异面直线的平行线，证明这两条平行线互相垂直；说明：实践中常常是过空间某一特殊点作这两条异面直线的平行线，如某线段的中点、端点，或某两条直线的交点，几何体的某顶点等；作出平行线后，常利用解三角形的方法证明这两条异面直线的平行线所成角为直角，即将该角作为某三角形的内角进行研究。2、利用线面垂直的性质：若线面垂直，则该直线与平面内任一直线都垂直；利用重要结论（三垂线定理及其逆定理）：三垂线定理：平面内一条直线a与平面的一条斜线b垂直，则该直线a与b在平面内的射影c垂直；三垂线定理的逆定理：平面内一条直线a与平面的一条斜线b在平面上的射影c垂直，则该直线a与斜线b垂直。五）直线与平面垂直的判定方法1、利用定义：直线与平面上任意一条直线都垂直，则该直线和该平面垂直；说明：运用定义法时，一般地要先将任意直线间的关系转化为特殊直线间的关系；以后还可以借助向量法，比较简捷。2、利用直线与平面垂直的判定定理：平面外一条直线和平面内两条相交直线垂直，则该直线和该平面垂直。3、利用平面和平面垂直的性质：两个平面互相垂直，则在一个平面内作交线的垂线也垂直于第二个平面。用心爱心专心4、利用平面和平面垂直的性质：两个相交平面和第三个平面垂直，则这两个相交平面的交...
