用二分法求方程的近似解【教学目标】1．使学生理解利用二分法求方程的近似解的思想方法，会用二分法求某些方程的近似解2．通过本节内容的学习，让学生体会到在现实世界中，等是相对的，而不等是绝对的，这样可以加深对数学的理解．3．使学生进一步理解利用二分法求方程的近似解的思想方法，能灵活地使用二分法求某些方程的近似解4．通过本节内容的学习，进一步培养学生的运算能力，数形结合，化归转化分类讨论等意识．【学习指导】1．我们已经学过一元一次方程、一元二次方程等方程的解法，并掌握了一些方程的求根公式．实际上，大部分方程没有求根公式，那么，这些方程怎么解？学完这一课，你就会知道利用方程的根与函数的零点的关系求方程的实数解（近似解）了．本节的重点就是利用二分法求方程的近似解，所谓二分法就是：对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而和到零点近似值的方法．2．用二分法求函数f(x)零点的步骤是：第一步：确定区间[a，b]，并验证f(a)·f(b)＜0，同时给定精确度；第二步：求区间(a，b)的中点x1；第三步：计算f(x1)；（1）若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；（2）若f(a)·f(x1)＜0，则令b=x1（此时零点x0∈(a，x1)）；（3）若f(a)·f(x1)＞0，则令a=x1（此时零点x0∈(x1，b)）．第四步：判断是否达到精确度：即若|a-b|＜，则得到零点近似值a或b；否则重复第二步~第四步．本节是通过一些例题的分析与解决进一步培养学生的运算能力，数形结合，化归转化等意识，以提高学生的数学涵养．难点是有些题目的计算比较烦，一定要让学生耐心去算．用心爱心专心【例题精析】例1．借助计算机或计算器，用二分法求函数f(x)=x3-5x2-4x+2的一个零点，精确到0.05．【分析】先用大范围法寻找零点所在的区间，然后不断使用二分法，逐步缩小区间，直至达到精度的要求．【解法】先作出x与f(x)的对应值表，并试图找出一个根所在的区间：x0123456f(x)2-6-18-28-30-1814通过举值，发现函数在(0，1)与(5，6)内都至少有一个零点，现不妨求(0，1)内的一个零点．令x1=0.5，f(0.5)=-1.125．因为f(0)·f(0.5)＜0，所以零点x0∈(0，0.5)．令x2=0.25，f(0.25)≈0.7．因为f(0.25)·f(0.5)＜0，所以零点x0∈(0.25，0.5)．令x3=0.375，f(0.375)≈-0.15．因为f(0.375)·f(0.25)＜0，所以零点x0∈(0.25，0.375)．令x4=0.3125，f(0.3125)≈0.29．因为f(0.375)·f(0.3125)＜0，所以零点x0∈(0.3125，0.375)．令x5=0.359375，f(0.359375)≈-0.04．因为f(0.359375)·f(0.3125)＜0，所以零点x0∈(0.3125，0.359375)．由于|0.359375-0.3125|=0.047＜0.05，此时区间(0.3125，0.359375)的两个端点精确到0.05的近似值都是0.336，所以函数的一个零点为0.336．【评注】①选好初定区间是使用二分法求近似解的关键．选取初定区间的方法有多种，常用方法有试验估计法，数形结合法，函数单调性法，函数增长速度差异法等等．②本题还有两个零点，你能把它独立求解出来吗？(答案为-1，5.646．)例2．（师生共同探究）概括用二分法求方程的近似解的基本程序．【分析】通过对例1的研究，希望能够对解决问题的方法进行提炼，而这一点切不可以由老师包办代替，要通过师生的合作探究解决问题．【解法】（1）在同一坐标系中分别作出两个简单函数的图象，注意两个图象与x轴的交点坐标；（2）估算出第一个解的区间（x1，x2），（x1＜x2）；用心爱心专心（3）计算f（）的值，若f（）＜0，则第二个解区间为（，x2）；若f（）＞0，则第二个解区间为（x1，）；若f（）＝0，则近似解为x＝；（4）重复第（3）步的操作，直至给出的解区间（xi，yi）满足精确度要求为止；（5）写出原方程的近似解．【评注】利用二分法求方程的实数解的过程亦可以用下图表示．例3．利用计算器，求方程的近似解（精确到0.1）．【分析】作一张草图，找好解所在的大致区间．【解法】分别画出函数和的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程的解，由图象可以发现，方程有唯一解，并且这个解在区间（2，3）内...
