高一数学期末复习逻辑联结词、四种命题、充要条件例1．分别写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并判断其真假：（1）p：3是9的约数，q：3是18的约数；（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相垂直．解（1）p或q：3是9的约数或18的约数．此为真命题；p且q：3是9的约数且是18的约数．此为真命题；非p：3不是9的约数．此为假命题．（2）p或q：矩形的对角线相等或互相垂直．此为真命题；p且q：矩形的对角线相等且互相垂直．此为假命题；非p：矩形的对角线不相等．此为假命题．点评由p，q的真假，判断“p或q”的真值时，可简称为“有真即真”；判断“p且q”的真值时，可简称为“有假则假”．例2．已知命题p：方程有两个不等的负实根,命题q：方程无实根．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．分析先分别求满足命题p和q的m的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．解由已知p，q中有且仅有一为真，一为假．．．（1）若p假q真，则；（２）若p真q假，则．用心爱心专心ACDB综上所述：点评本题在利用复合命题的真假条件时，实质上涉及到化归思想、分类讨论思想和集合的“交”、“并”、“补”运算．例3．（１）设p：AB，则p是q的条件；q是p的条件．（2）设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件，那么D是C的条件，A是B的_______________条件．分析弄清概念、理清关系后再加以判断．（１）必要非充分；充分非必要．（２）根据右边的示意图，易知D是C的充要条件；A是B的充分条件．点评对于相关因素较复杂的充要性判断问题，有时画出并利用“关系图”，可以更为形象、直观、简便地加以判断．变题设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的__________条件．提示由已知得甲乙丙丁，且乙甲，丁丙，易知答案为：充分不必要．例4．已知p：；q：，若是的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．分析先通过解不等式将p、q具体化，然后写出和，再根据进行推理分析，求出m的范围．用心爱心专心解由解得：，则：．又当m>0时，由得，则：．是的充分非必要条件，A\s\up3(()B，结合数轴应有解得为所求．点评（1）应注意m>0的条件及区间端点值能否取到；（2）本题亦可先化为等价命题：q是p的充分而非必要条件，然后再分析、列式、转化．例5．若p>0，q>0,p3+q3=2.试用反证法证明p+q2解：法一：反设p+q>2,(p+q)3=p3+q3+3pq(p+q)>8,3pq(p+q)>6,pq(p+q)>2,p3+q3=(p+q)(p2-pq+q2)=2,pq(p+q)>(p+q)(p2-pq+q2),pq>(p2-pq+q2),(p-q)2<0,矛盾。法二：反设p+q>2,p>2-q，p3>（2-q）3=8-12q+6q2-q3，p3+q3>6（q-1）2+22法三：p3+q3=(p+q)(p2-pq+q2)=(p+q)[（(p+q)2-3pq）(p+q)3，(p+q)2练习：1．有下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy=0，则”的逆命题；③“若a>b，则a+c>b+c”的否命题；用心爱心专心④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有（B）A．1个B．2个C．3个D．4个２．有以下5个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；（5）所有男生都爱踢足球．其中命题（5）的否命题是（C）A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）3．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以是（B）（A）1或2或3或4（B）0或2或4（C）1或3（D）0或44．如果x、y是实数，那么xy>0是|x+y|=|x|+|y|的（A）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．命题则对复合命题的下述判断：①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．其中判断正确的序号是1456（填上你认为正确的所有序号）．6若三条抛物线中至少有一条与x轴有公共点，则a的取值范围是.7．（1）“p且q是真命题”是“p或q为真命题”的条件；（2）“非p是真命题”是“p或q为真命题”的条件；用心爱心专心（3）“p或q为假命题”是“非p为真命题”的条件；8.设或,或，则是的条件．9．（1）设集合，，则“或”是“”的什么条件？（2）求使不等式恒成立的充要条件10．若a、b、c均为实数，且，求证：a、b、c中至少有一个大于0．用心爱心专心
