高一数学暑假专题——函数与方程的思想方法北师大版知识精讲VIP专享VIP免费

高一数学暑假专题——函数与方程的思想方法北师大版【本讲教育信息】一.教学内容：函数与方程的思想方法及其在解题中的应用二.学习目标1.了解一些常见的函数与方程的内在联系（如二次函数与一元二次方程）；2.了解函数思想在解题中的简单应用；3.了解方程思想在解题中的简单应用；三、知识要点1、二次函数与一元二次方程的关系二次函数，一元二次方程二次函数的零点的存在性与一元二次方程的根的存在性：条件一致，均可由△=进行判断；二次函数的零点与一元二次方程的根的值：在存在的前提下，两者一致，即二次函数的零点等于它所对应的一元二次方程的根；二次函数与对应的一元二次不等式的关系：2、函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。主要有两种类型：实际应用题：基本过程是：审题——建模——解模——还原；函数综合题：解题中涉及到函数性质（单调性、周期性、奇偶性、图像等），因此可构造函数进行求解；3、方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。4、函数与方程的互相转化，充分利用函数与方程之间的内在联系，达到解决问题的目的。【考点解析与典型例题】考点一：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系例1若，使得的的范围是（－1，3），当时，求t的取值范围。解：由题意，一元二次不等式的解集是（－1，3），从而－1，3是一元二次方程的两根，由方程根与系数的关系可知：。故可求得函数的对称轴方程为。因为，当时为增函数，故。说明：本题无法求出的值，因此不等式是一个抽象不等式，欲解此不等式，一般情况下只能通过函数单调性去掉抽象函数符号，从而可解。考点二：函数思想在解题中的应用例2若不等式，对任意恒成立，求的取值范围。用心爱心专心思路1由。综上所述：。思路2由，设，这是一个关于m的一次函数，在[－1，1]上恒大于零，故.说明：比较思路1和思路2可以看出，思路1以x为主元，不等式是关于x的一元二次不等式，解答过程比较繁琐；思路2以m为主元，不等式是关于m的一元一次不等式，解答过程十分简洁。这种解题方法在涉及两个（或以上）变元的问题中经常采用，有的参考书称之为“反客为主法”。例3判断方程lgx＋x＝3的解所在的区间为____。A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，+∞)解：设，有方程解即为该函数的零点。由于，故在（2，3）之间至少存在一个函数的零点，故选C。考点三方程思想在解题中的应用例4若实数满足：，则.解：据条件，是关于的方程的两个根，即的两个根，所以；从而可解得。例5求圆与圆的交点弦所在直线的方程。解：设交点分别为，则由P点为两圆公共点得：；同理，因为M点亦为两圆公共点，故亦有：，从而可知，P、M两点坐标均满足方程，换言之，该直线过P、M两点，因此该直线即为所求P、M所在直线方程。考点四函数与方程思想在应用题中的应用例6某种商品原来定价每件p元，每月能卖出n件，若定价上涨x成（这里的x成即为用心爱心专心，每月卖出数量将减少y成。设，，用来表示当售货金额最大时的x的值。解：设售货金额为，由题意知：，这是一个关于x的二次函数，开口向下，故当时，售货金额最大。说明：这是一个函数应用题，解应用题一般要以问题为中心进行求解。本题抓住问题中的“售货金额”，列出“售货金额=销量×售价”这样一个等式，然后代入变量即可得到一个函数式，把实际问题转化为二次函数的最值问题。四、数学思想方法本讲主要涉及函数与方程思想，以及简单的函数建模的思想。新课程标准明确指出，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终，要能够体会函数在数学和其它学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题，体会函数与方程的有机联系。数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，这也是各个层次（包括高中阶段）的数学教育中重要和基本的内容，同时，它也是一种新的数学学习方式，有助于我们体验数学在解决实际问题中的价值，体验数学与日常生活和其它...