高一数学暑假专题——函数与方程的思想方法北师大版【本讲教育信息】一.教学内容：函数与方程的思想方法及其在解题中的应用二.学习目标1.了解一些常见的函数与方程的内在联系（如二次函数与一元二次方程）；2.了解函数思想在解题中的简单应用；3.了解方程思想在解题中的简单应用；三、知识要点1、二次函数与一元二次方程的关系二次函数，一元二次方程二次函数的零点的存在性与一元二次方程的根的存在性：条件一致，均可由△=进行判断；二次函数的零点与一元二次方程的根的值：在存在的前提下，两者一致，即二次函数的零点等于它所对应的一元二次方程的根；二次函数与对应的一元二次不等式的关系：2、函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。主要有两种类型：实际应用题：基本过程是：审题——建模——解模——还原；函数综合题：解题中涉及到函数性质（单调性、周期性、奇偶性、图像等），因此可构造函数进行求解；3、方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。4、函数与方程的互相转化，充分利用函数与方程之间的内在联系，达到解决问题的目的。【考点解析与典型例题】考点一：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系例1若，使得的的范围是（－1，3），当时，求t的取值范围。解：由题意，一元二次不等式的解集是（－1，3），从而－1，3是一元二次方程的两根，由方程根与系数的关系可知：。故可求得函数的对称轴方程为。因为，当时为增函数，故。说明：本题无法求出的值，因此不等式是一个抽象不等式，欲解此不等式，一般情况下只能通过函数单调性去掉抽象函数符号，从而可解。考点二：函数思想在解题中的应用例2若不等式，对任意恒成立，求的取值范围。用心爱心专心思路1由。综上所述：。思路2由，设，这是一个关于m的一次函数，在[－1，1]上恒大于零，故.说明：比较思路1和思路2可以看出，思路1以x为主元，不等式是关于x的一元二次不等式，解答过程比较繁琐；思路2以m为主元，不等式是关于m的一元一次不等式，解答过程十分简洁。这种解题方法在涉及两个（或以上）变元的问题中经常采用，有的参考书称之为“反客为主法”。例3判断方程lgx＋x＝3的解所在的区间为____。A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，+∞)解：设，有方程解即为该函数的零点。由于，故在（2，3）之间至少存在一个函数的零点，故选C。考点三方程思想在解题中的应用例4若实数满足：，则.解：据条件，是关于的方程的两个根，即的两个根，所以；从而可解得。例5求圆与圆的交点弦所在直线的方程。解：设交点分别为，则由P点为两圆公共点得：；同理，因为M点亦为两圆公共点，故亦有：，从而可知，P、M两点坐标均满足方程，换言之，该直线过P、M两点，因此该直线即为所求P、M所在直线方程。考点四函数与方程思想在应用题中的应用例6某种商品原来定价每件p元，每月能卖出n件，若定价上涨x成（这里的x成即为用心爱心专心，每月卖出数量将减少y成。设，，用来表示当售货金额最大时的x的值。解：设售货金额为，由题意知：，这是一个关于x的二次函数，开口向下，故当时，售货金额最大。说明：这是一个函数应用题，解应用题一般要以问题为中心进行求解。本题抓住问题中的“售货金额”，列出“售货金额=销量×售价”这样一个等式，然后代入变量即可得到一个函数式，把实际问题转化为二次函数的最值问题。四、数学思想方法本讲主要涉及函数与方程思想，以及简单的函数建模的思想。新课程标准明确指出，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终，要能够体会函数在数学和其它学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题，体会函数与方程的有机联系。数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，这也是各个层次（包括高中阶段）的数学教育中重要和基本的内容，同时，它也是一种新的数学学习方式，有助于我们体验数学在解决实际问题中的价值，体验数学与日常生活和其它...
