高一数学平面向量的应用通用版【本讲主要内容】平面向量的应用（几何中解三角形和物理中的应用）【知识掌握】【知识点精析】1.正弦定理2.余弦定理3.解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力。【解题方法指导】例1.在△ABC中，已知（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，确定△ABC的形状。解法一：利用边的关系来判断。由正弦定理，得用心爱心专心由2cosAsinB＝sinC，有又据余弦定理，得∴a＝b又已知（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab，由a＝b，，b＝c。∴a＝b＝c。因此△ABC为等边三角形。解法二：利用角的关系来判断 A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin（A＋B）又2cosAsinB＝sinC，∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB∴sin（A－B）＝0又A与B均为△ABC的内角，∴A＝B又由（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab，据余弦定理，上式化为∴C＝60°。故△ABC为等边三角形。说明：判定三角形的形状时，一般有两种思路：一是通过三角形的边关系，另一是考虑三角形的内角的关系。当然可将边和角巧妙结合同时考虑。例2.如图，是曲柄连杆机的示意图。当曲柄CB0绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动。当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处。设连杆AB长为340ｍｍ，曲柄CB长为85ｍｍ，曲柄自CB0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）（精确到1ｍｍ）。分析：如图所示，因为A0A＝A0C－AC，又知A0C＝AB＋BC＝340＋85＝425，所以只要求出AC的长，问题就解决了。在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可由正弦定理求出AC。用心爱心专心解：在△ABC中，由正弦定理可得sinA＝因为BC＜AB，所以A为锐角，得A＝14°15′∴B＝180°－（A＋C）＝180°－（14°15′＋80°）＝85°45′由正弦定理，可得AC＝因此，A0A＝A0C－AC＝（AB＋BC）－AC＝（340＋85）－344.3＝80.7≈81（ｍｍ）答：活塞移动的距离约为81ｍｍ。评述：注意在运用正弦定理求角时应根据三角形的有关性质具体确定角的范围.要求学生注意解题步骤的总结：用正弦定理求A求B求AC→求A0A。例3.如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9nmile，并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28nmile/h的速度行驶，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？分析：若在C处甲船追上乙船，那么在△ABC中，AB＝9，∠ABC＝180°－15°－45°＝120°。题目所求为AC的长度，方向与∠CAB有关。解：设用th，甲船能追上乙船，且在C处相遇。在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－45°－15°＝120°据余弦定理，得（4t－3）（32t＋9）＝0。用心爱心专心据正弦定理，得又∠ABC＝120°，说明：航海问题常涉及到解斜三角形的知识，解题时应注意画出示意图，帮助分析，本题中的∠ABC，AB边已知，另两边未知，但它们都是船航行的距离，由于两船的航速已知，所以，这两条边均与时间t有关。这样据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t值，问题得到解决。【考点突破】【考点指要】这部分内容掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。解斜三角形的试题今后的发展方向：一方面与三角函数，向量等基础知识相结合，考查综合运用数学知识的能力；另一方面与实际应用题相结合，考查应用数学知识解决实际问题的能力。【典型例题分析】例1.在中，角A、B、C对边分别为、、。证明：本小题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识，考查三角函数简单的变形技能。证明：由余弦定理用心爱心专心∴整理得依正弦定理，有∴例2.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a＋c＝2b，A－C＝π/3，求sinB的值。解：由正弦定理和已知条件a＋c＝2b得sinA＋sinC＝2sinB。由和差化积公式得2sin（A＋C）/2cos（A－C）/2＝2sinB。由A＋B＋C＝π，得sin（A＋C）/2＝cosB/2，又A－C＝π/3，得（/2）cosB/2＝sinB，∴（/2）cosB/2＝2（sinB/2）（cosB/2）。 0
