高一数学向量的加减与数乘运算北师大版知识精讲VIP专享VIP免费

高一数学向量的加减与数乘运算北师大版【本讲教育信息】一.教学内容：①向量的概念；②向量的加法与减法；③数乘向量的运算④平面向量基本定理二、学习目标1、了解向量的物理学背景，从“位移”“速度”“力”等物理概念中抽象出向量的概念；2、从代数与几何两个方面理解向量概念；了解零向量、单位向量、相等向量、相反向量等基本概念；3、从“位移的合成”“速度的合成”“力的合成”抽象概括出向量加法运算；4、从“位移的分解”“速度的分解”“力的分解”抽象概括出向量减法运算；5、从“速度”的倍数概括数乘向量运算；6、理解两个向量共线的条件和平面向量的基本定理．三、知识要点1、向量的概念向量——在数学中，把既有大小，又有方向的量统称为向量．有向线段——规定了起点和终点的线段（或规定了正方向的线段）称为有向线段，如有向线段，A为起点，B为终点，正方向是从A到B。向量的表示——几何表示：用有向线段来表示，其中，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。——字母表示：用黑体小写字母a，b，c来表示，书写用来表示，或用表示该向量的有向线段的字母来表示，如向量。④向量的模——||，也称向量的大小、向量的长度。⑤零向量——模为零的向量；记作0或；⑥单位向量——与向量同向，且长度为单位1的向量，叫做方向上的单位向量，记作；⑦相等向量——长度相等且方向相同的向量称为相等向量，记作：⑧相反向量——与长度相等、方向相反的向量叫作的相反向量，记作：－。和－互为相反向量，即－（－）=；零向量的相反向量仍是零向量。⑨平行向量——亦称共线向量，指表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线，记作：//；规定：零向量与任一向量平行。2、向量的加法向量加法的平行四边形法则——已知向量，在平面内任取一点A，作，作BC//AD，作DC//AB，则四边形ABCD为平行四边形。连接AC，则称为向量的和，记作：（可参照物理学中位移、力或速度的合成）用心爱心专心说明：两个加向量平移至起点一致，和向量起点与之相同。向量加法的三角形法则——已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则说明：两个加向量平移至首尾顺次连接。向量加法的多边形法则——仿照三角形法则，将n个向量平移到首尾顺次连接，则从第一个向量的起点到第n个向量的终点所形成的向量即为这n个向量的和向量，即：④向量加法的运算律——交换律：——结合律：3、向量的减法①向量加上向量的相反向量，叫作与的差，即：；求两个向量的差的运算叫作向量的减法。②向量减法的平行四边形法则——已知向量，在平面内任取一点A，作，作BC//AD，作DC//AB，则四边形ABCD为平行四边形。连接BD，则称为向量的差，记作：（可参照物理学中位移、力或速度的分解）。显然，说明：两个向量起点一致时，其差即为从减向量的终点指向被减向量的终点的向量。③向量减法的三角形法则——已知向量，在平面内任取一点A，作，连接BD，则称为向量的差，记作：（可参照物理学中位移、力或速度的分解）。显然，4、数乘向量一般地，一个实数λ与向量的积是一个向量，记作；，它的长度为。它的方向：当λ>0时，与同向；当λ<0时，与反向；当λ=0时，的方向任意；数乘向量的运算律——————5、向量共线的判定定理和性质定理——向量共线的判定定理：为非零向量，若存在一个常数λ，使得，则向量与非零向量共线。——向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个常数λ，使得。6、平面向量的基本定理——如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内任一向量，存在一对实数，使得：。我们把不共线的向量叫作表示这一平面内所有向量的一组基底。四、考点解析与典型例题考点一向量的概念例1、简答：用心爱心专心（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）如何判断两个非零向量相等？（7）共线向量一定在同一直线上吗？解：（1）不一定；（2）...